Доказал ли раскольников то, что хотел доказать?

Нет, не доказал.
Раскольников хотел доказать себе, что он не тварь дрожащая, а право имеющий. Он придумывает эту теорию, оправдывающую кровь по совести, тк он не может действовать и жить, задыхаясь в этом мире бедности и безысходности. Преступление совершает не умный и рассудительный юноша, а одинокий студент, погрязший в бедности, которого безысходность и толкает на преступление. В итоге он не оправдывает свои ожидания и сдается - подтверждая, что никакой он не избранный, не "право имеющий". Но потом он понимает несостоятельность своей теории, осознает наконец, что гордость ума ведёт к розни и гибели, а смирение сердца к единству в любви и к полноте жизни.