Каждая из компонент связности должна быть кликой (иначе говоря, каждые две вершины в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:
Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа.
Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1.
Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов: Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине.
class Main { public static void main(String[] args) { ArrayList<Integer> a = new ArrayList();
/** * Заполнение */ for (int i = 0; i < 50; i++) a.add(i, new java.util.Random().nextInt(100));
/** * Пузырь */ for (int i = 0; i < 50; i++) for (int j = 0; j < 50-i-1; j++) if (a.get(j) > a.get(j+1)){ int b = a.get(j); a.set(j, j+1); a.set(j+1, b); }
for (int i = 0; i < 50; i++) System.out.print(a.get(i) + " "); System.out.println("\n---");
/** * Удаляем */ a.remove(0);
for (int i = 0; i < 50-1; i++) System.out.print(a.get(i) + " "); } }
вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:
