Для чего в данном коде были задействованы операторы if, in?

В общем случае, трассировка - один из отладки программ врукопашную: состояние программы контролируется на определённом отрезке времени её выполнения путём анализа значений переменных. трассировка в том или ином виде при отладке программ сложнее школьного дз практически неизбежна.
в простейшем случае, трассировка - вывод значений переменных на экран (например, в окно консоли) , либо расчёт их на бумажке для каждого шага.
в более продвинутом варианте используются точки останова, окно наблюдения, выполнение по шагам и, если есть, контекстный интерпретатор выражений.
есть также специальная "трассирующая консоль" - интерфейс вывода информации из программы в отладчик, если таковой присутствует.
почти любой современный отладчик показывает состояние програмm при её останове, что делает трассировку процессом легко доступным

13.

numbers = input('Введите через пробел числа ==> ')

arr = numbers.split(' ')

arr = [int(i) for i in arr]

for i in range(1, len(arr)):

___arr[i] = arr[i] + 5

print(arr)

14.

while True:

___numbers = input('Введите числа через пробел ==> ')

___arr = numbers.split(' ')

___if not '' in arr and len(arr) % 2 == 0:

break

___else:

print('Ошибка! Введите четное число элементов или не ставьте в конце пробел!')

arr = [int(i) for i in arr]

for i in range(int(len(arr)/2)): #решение под буквой А

___arr[i] += 1

for z in range(int(len(arr)/2), len(arr)): #решение под буквой Б

___arr[z] *= 2

print(arr)

15.

numbers = input('Введите числа через пробел ==> ')

sum = 0

arr = numbers.split(' ')

arr = [int(i) for i in arr]

for i in range(len(arr)):

___sum += arr[i]

print(sum/len(arr))