Втреугольнике одна из сторон больше второй в 2 раза и меньше третьей в 1,2 раза. найдите величину большей стороны, если периметр равен 27.

O - центр окружности

OL⊥AC (радиус в точку касания)

Биссектриса BL делит дугу MN пополам.

Радиус OL делит дугу MN пополам, следовательно перпендикулярен хорде MN.

(В равнобедренном △MON биссектриса OL является высотой.)

OL⊥AC, OL⊥MN => MN||AC

По теореме о биссектрисе

AB/AL =BC/CL

По условию

AB +BC =2AC =>

AL*AB/AL +CL*BC/CL =2AC =>

AB/AL (AL+CL) =2AC => AB/AL =2

По теореме о касательной и секущей

AL^2 =AB*AM => AL/AM =AB/AL =2

AL/AM *AB/AL =AB/AM =4/1

△MBN~△ABC (стороны параллельны) => MN/AC =MB/AB =3/4

Рассмотрим треугольник, образованный катетом,  диагональю грани, содержащей этот катет боковым ребром призмы.
призма прямая, значит боковое ребро является высотой призмы
  по теореме Пифагора Н=√10²-5²=5*√3
V=1/3S*H - формула объема призмы, подставляем известные величины  V , H   Находим S = (3*125*√3)/(25*√3)=15
площадь прямоугольного   треугольника равна  половине произведения его катетов,  находим  второй катет b=30/5=6
 по теор Пифагора находим гипотенузу основания  с=√5²+6²=√61
радиус окружности,  описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.  R=1/2√61