1. ∠BAC=18°; ∠CAB = 72°.
2. 2 см, 7 см.
3. АС=BD=24 см.
4. 25°, 25°, 130°.
5. 20°, 70°, 90°.
Объяснение:
1. ∠ACB=x. Тогда ∠BAC=4x.
Сумма углов треугольника равна 180°. Тук как угол В=90°, то
х+4х=90°;
5х=90°;
х=18° - угол BAC;
угол CAB =4x=4*18= 72°.
***
2. P=2(a+b) = 18 см, где а=х см, b=x+5 см .
2(х+х+5)=18;
2х+5=9;
2х=4;
х=2 см - меньшая сторона;
Большая сторона равна х+5=2+5=7 см.
Проверим:
Р=2(2+7)=2*9=18 см. Всё верно!
***
3) Треугольник АВО - равносторонний АВ=ВО=АО=12 см.
Диагонали в прямоугольнике делятся пополам. Следовательно АС=BD=2*AO=24 см .
***
4. В ромбе все стороны и противоположные углы равны. Следовательно треугольник АВС - равнобедренный с углом при вершине 130°.
Сумма углов в треугольнике равна 180°.
∠САВ+∠АВС+∠ВСА=180°;
∠ВАС=∠ВСА=(180°-130°)/2=25°.
***
5. Диагонали в ромбе пересекаются под углом 90° и углы при вершине делит пополам. Следовательно угол ∠АВО =∠АВС/2=140°/2=70°.
Сумма углов в треугольнике равна 180°:
∠АВО+∠ВОА+∠ОАВ=180°.
∠ВАО=180°-(70°+90°)=180°-160°=20°;
Пусть основание АВ, вершина, из которой проведены медиана и высота - С, середину АВ обозначим М, основание высоты К (СК - высота к АВ). Опишем вокруг АВС окружность и продлим СМ и СК до пересечения с ней. Пусть это точки, соответственно Е для СМ и Р для СК.
Мы знаем, что дуги АЕ и ВР равны.
Поэтому ЕР II AB
=> ЕР перпендикулярно СР,
=> EC - диаметр,
и => М - центр окружности. В самом деле, АМ = МВ, но АВ не перпендикулярно ЕС, а это возможно, только если М - цетр окружности (можно указать на равенство СК и КР, поэтому СМ = МС, и опять - М - центр)
Итак ,мы имеем ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник АВС, угол АСВ = 90 градусов.
Из равенства дуг СВ и ВР (мы уже ДОКАЗАЛИ, что АВ - диаметр, пепендикулярный СР) следует, что угол СЕР в 2 раза больше ВСК,
то есть если считать угол ВСК = 5*х, то
угол ЕСР = 8*х, угол СЕР = 10*х.
Но угол ЕСР + угол СЕР = 90 градусов, откуда х = 5 градусов, угол САВ = угол КСВ = 5*х = 25 градусов, угол КВС = 90 - 25 = 65 градусов.
ответ углы треугольника 25, 65 и 90 градусов.
