Через сторону основания правильной треугольной пирамиды перпендикулярно противоположному боковому ребру проведено сечение. секущая плоскость делит это ребро в отношений 3: 2, считая от вершины. найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если сторона основания равна 6√2.

Пусть дана пирамида SАВС, высота её SO, апофема SД, высота основания ВД.
ВД = a*cos30° = 6√2*(√3/2) = 3√6.
Точка О делит ВД в отношении 2:1 от В:
ВО = (2/3)*3√6 = 2√6.
ДО = (1/3)*3√6 = √6.
Проведём осевое сечение через ребро SВ.
В сечении имеем треугольник ДSВ, в нём 2 высоты: ДЕ к ребру SВ и SO  к ВД.
Рассмотрим подобные треугольники SOB и ДВЕ (у них по прямому и общему углу В).
Коэффициент пропорциональности деления точкой Е ребра SB примем к: SE = 3k. BE = 2k, SB = 5k.
Составим пропорцию: 2√6/5k = 2k/3√6,
10k² = 36,
k² = 3,6.
Теперь можно найти высоту (Н = SO) пирамиды:
Н = √(SB² - BO²) = √(25k² - 24) = √(25*3,6 - 24) = √(90 - 24) = √66.
Апофема А = SД = √(Н² + ДО²) = √(66 + 6) = √72 = 6√2.
Периметр Р основания равен:
Р = 3а = 3*6√2 = 18√2.
Площадь Sбок боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*18√2*6√2 = 108 кв.ед.