Втреугольнике abc биссектриса угла a пересевает сторону bc в точке d. перпендикуляр к биссектрисе, проведённый через точку m- середину отрезка ad, пересекает прямую bc в точке n. докажите, что прямая an является касательной к описанной вокруг этого треугольника окружности

MN - высота и медиана треугольника AND. Значит он равнобедренный и ∠DAN=∠ADN.
∠CAN=∠DAN-∠DAC.
∠ABN=∠ADN-∠BAD по свойству внешних углов треугольника.
Но ∠BAD=∠DAC, поэтому ∠CAN=∠ABN, значит по свойству углов между касательной и хордой проведенной в точку касания AN - касательная.