Вкруге радиусом 3 проведена хорда. под каким углом она видна из центра, если её длина: а) равна 1; б) равна 3; в) меньше чем 0.1; г) больше чем 4; д) равна расстоянию от неё до центра; е) равна длине хорды, имеющей с ней общую точку на окружности и перпендикулярной ей.

Пусть будет окружность с центром в точке О, АВ - хорда. Искомый угол - угол АОВ.
а) По теореме косинусов:

Находим косинус по таблице Брадиса, получаем, что угол АОВ = примерно 84 градуса.

б) Если АВ=3, то треугольник АОВ равносторонний, а значит, угол АОВ=60 градусов.

в) Если АВ меньше 0,1, то по теореме косинусов

Находим угол, косинус которого равен 0,1110. Это угол 83 градуса 38 минут, значит, угол АОВ < 83 градуса 38 минут.

г) Если АВ больше 4, то по теореме косинусов

Значит, угол AOB>89 градусов 18 минут.

д) Пусть расстояние от центра до хорды равно 2х, тогда и хорда АВ=2х. Расстояние - это перпендикуляр, опущенный из точки О. Пусть он пересечёт АВ в точке Н, тогда АН=НВ=х. По теореме Пифагора

Значит, АВ=. Тогда по теореме косинусов

а угол АОВ=86 градусов 11 минут.

е) Пусть вторая хорда будет АС, точка А у них будет общая. АС перпендикулярно АВ и АС=АВ. угол А прямой и он вписан, значит, ВС - диаметр окружности, точка О лежит на отрезке ВС и ОВ=ОС,  а значит ОА - это медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, угол АОВ=90 градусов.