Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а высота равна 3. найдите косинусы углов между: а) боковым ребром и плоскостью основания; б) боковой гранью и плоскостью основания; в) двумя соседними боковыми гранями; г) двумя противоположными боковыми гранями​

1) 6 ед.  2) 6 ед.

Объяснение:

1) ΔАВД - равнобедренный, т.к. высота ВС, опущенная из вершины В, разделила АД пополам, и является также медианой.

Значит периметр ΔАВД = 2·АВ+АД.

Т.к. АС=СД, то АД=2·АС, тогда периметр ΔАВД = 2·АВ+2·АС=2·(АВ+АС)

Значит АВ = Ртр.÷2 - АС (где Ртр. - периметр  ΔАВД)

АВ=20÷2-4=6

2) ΔАВС - равнобедренный, т.к. биссектриса ВД, опущенная из вершины В, разделила АС пополам, и является также медианой.

Значит АВ=ВС и периметр ΔАВС = 2·АВ+АС.

Для удобства обозначим длину АВ за х. Тогда х-ДС=4 ⇒ ДС=х-4.

Т.к. АС=АД+ДС и ДС=АД, то АС=2·ДС ⇒ АС= 2·(х-4).

Тогда периметр Р = 2х+2(х-4) ⇒

Р=2·(х+х-4)⇒

Р=4(х-2).

х=Р÷4+2

х=32÷4-2=6.

1. В основании правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник, а высота проецируется в его центр.
SO - высота пирамиды, ОС - проекция SC на плоскость основания, значит ∠SCO - угол наклона бокового ребра к плоскости основания - искомый.
ОС - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОС = АВ√3/2 = 6√3/3 = 2√3.
ΔSOC: ∠SOC = 90°, ctg∠SCO = OC / SO = 2√3 / 8 = √3/4

2.  Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники.
Пусть Н - середина CD, тогда SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SDC, ОН - средняя линия ΔADC, ⇒ ОН║AD, ⇒ OH⊥CD.
Значит ∠SHO - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию - искомый.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали, значит АС = 8.
АС = АВ√2 ⇒ АВ = АС/√2 = 8 / √2 = 4√2 - сторона квадрата
ОН = AD/2 = 2√2
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos∠SHO = OH / SH = 2√2/7

3. Sбок  = 2πRH = 160π см² ⇒ 2RH = 160 см²
ABCD - осевое сечение.
Sabcd = 2R·H = 160 см²
ABEF - сечение, параллельное оси и отстоящее от нее на 6 см.
Так как H = R - 2,то
2R(R - 2) = 160
R² - 2R - 80 = 0
D = 4 + 320 = 324
R = (2 + 18)/2 = 10  см      R = (2 - 18)/2 = - 8 - не подходит по смыслу задачи
H = 10 - 2 = 8 см
Если Н -середина ВЕ, то ОН = 6 см - расстояние от оси до сечения.
ΔОНВ: ∠ОНВ = 90°, по теореме Пифагора
             НВ = √(ОВ² - ОН²) = √(100 - 36) = 8 см
ВЕ = 2НВ = 16 см
Sabef = BE · H = 16 · 8 = 128 см²

4. ΔАВС - данное сечение - равнобедренный треугольник (АВ = АС = l  образующие)
∠АВС = ∠АСВ = 75°, ⇒ ∠ВАС = 30°.
Sabc = 1/2 · AB · AC · sin ∠BAC = 16 см²
l² · sin30° = 32
l² = 64
l = 8 cм
ΔАОВ: ∠ВАО = 30° по условию.
             cos∠BAO = AO/AB
             cos30° = h/l ⇒  h = l · cos30° = 8√3/2 = 4√3 см
             r = OB = AB · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Площадь осевого сечения:
Sakc = 1/2 · KC · AO = r · h = 16√3 см²
Sполн = πr(l + r) = π · 4 · (8 + 4) = 48π см²