Найдите объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой = b, и образует угол α с площадью основания пирамиды.

V пирам. =(1/3)*Sосн*H
Sосн=(1/4)a²√3, a - сторона основания.
1. рассмотрим ΔАВС- основание правильной пирамиды: пусть сторона  =а, высота = h. 
h=(a√3)/2.  высоты(медианы, биссектрисы) правильного треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
2. рассмотрим Δ, образованный высотой пирамиды Н, апофемой b и катетом =(1/3)h
cosα= [(1/3)h ]/b, h=3*b*cosα, => a=(6*b*cosα)/ √3
sinα= H/b, H=sinα*b
V пир= (1/3)* [(6bcosα)/√3]²/4 *(sinα*b)=b³*sinα*cosα
или по формулам двойного аргумента: V=(1/2)*b³*sin2α