5. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 12, а один из углов трапеции равен 60°

  Зевать человек начинает уже через пять минут после рождения. Лишь недавно это обычное явление привлекло внимание исследователей, в частности, Роберта Провайна из Мэрилендского университета. Он установил, что это сигнал организма о дефиците кислорода, который наступает тогда, когда человек устает или скучает, и ему необходимо встряхнуться. 
       
      Исследователь поместил группу добровольцев-студентов в комнату, где содержание кислорода и углекислоты постепенно менялись. Ученый при этом подсчитывал количество зевков каждого испытуемого. Хотя частота дыхания испытуемых возрастала по мере роста дефицита кислорода в помещении, интенсивность зевков оставалась постоянной. Она оставалась постоянной даже в случае дыхания чистым кислородом. 

1. Доказательство равенства треугольников ΔМОН и ΔРОН:
В данной задаче, нам дано, что угол МОН равен углу РОН. Угол МОН является биссектрисой угла МНР. Биссектриса угла делит его на два равных угла. Таким образом, угол МНО равен углу НОМ.
В треугольнике ΔМОН, угол МНО равен углу НОМ и общий угол МОН. Значит, треугольник ΔМОН подобен треугольнику ΔРОН по признаку двух углов, следовательно, они равны.

2. Нахождение значений углов:

Из условия задачи: угол МНО = 42⁰, угол НМО = 28⁰, угол НОМ = 110⁰.

Чтобы найти значения углов ОНР, НРО и НОР, мы должны использовать свойства углов в треугольниках.

А) Нахождение угла ОНР:
Угол ОНР является внешним углом треугольника ΔМОР. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, которые не делятся на него (в данном случае углов РОН и ОНМ):
Угол ОНР = угол РОН + угол ОНМ = 110⁰ + 28⁰ = 138⁰.

Б) Нахождение угла НРО:
Угол НРО является внутренним углом треугольника ΔНОР. Внутренние углы треугольника в сумме равны 180⁰:
Угол НРО = 180⁰ - угол ОНР - угол НОР = 180⁰ - 138⁰ - 110⁰ = -68⁰.

В) Нахождение угла НОР:
Угол НОР является внутренним углом треугольника ΔНОР. Внутренние углы треугольника в сумме равны 180⁰:
Угол НОР = 180⁰ - угол НРО - угол ОНР = 180⁰ - (-68⁰) - 138⁰ = 110⁰.

3. Доказательство, что луч СД является биссектрисой угла ЕСК:
Из условия задачи: DE = DK, ES = SK.

Чтобы доказать, что луч СД является биссектрисой угла ЕСК, мы должны показать, что он делит угол ЕСК на два равных угла.

1) Докажем, что угол СДЕ = угол ОКЕ:
У нас есть равенство DE = DK.
Это означает, что угол СДЕ равен углу ОКЕ согласно свойству биссектрисы.

2) Докажем, что угол SDK = угол КЕС:
У нас есть равенство ES = SK.
Это означает, что угол SDK равен углу КЕС согласно свойству биссектрисы.

Таким образом, мы доказали, что луч СД является биссектрисой угла ЕСК.

4. Построение окружности и нахождение длины радиуса:
Чтобы построить окружность, диаметр которой равен 7 см, нужно следовать следующим шагам:
1) Найдем радиус окружности. Радиус окружности равен половине диаметра:
Радиус = 7 см ÷ 2 = 3.5 см.

2) Возьмем центр окружности. Центр окружности – это точка, из которой равноудалены все точки окружности. Обозначим ее центром окружности с символом O.

3) С помощью циркуля и линейки проведем окружность с центром O и радиусом 3.5 см.

4) Чтобы построить три хорды и две дуги на данной окружности, проведем прямые линии, соединяющие различные точки окружности. Чтобы найти длину этих хорд и дуг, нужно знать точные координаты и углы, что не дано в условии. Поэтому мы не можем найти длину этих хорд и дуг и даются необходимые вычисления.

В результате, мы построили окружность с диаметром 7 см и найден радиус окружности равным 3.5 см.