Дано:
ABCS - правильная треугольная пирамида
SO - высота пирамиды SO⊥(ABC)
Sбок = 96 см²
Sполн = 112 см²
-----------------------------
Найти:
AB - ?
SO - ?
1) Сначала запишем формулу площадь полной поверхности пирамиды, именно по такой формуле мы найдем площадь основания:
Sполн = Sбок + Sосн - Площадь полной поверхности пирамиды ⇒
Sосн = Sполн - Sбок = 112 см² - 96 см² = 16 см²
2) Поскольку треугольная пирамида правильная, то в основе лежит правильный треугольник. Следовательно, мы найдем сторону его основания:
- Площадь основания правильной пирамиды
- Сторона его основания
AB = √4×16 см²/√3 = √64 см²/√3 × √3/√3 = √64√3 см²/3 = ![\frac{8\sqrt{\sqrt{3}}cm}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt[4]{3}\sqrt{3}cm} {3}=\frac{8\sqrt[4]{3}\sqrt[4]{3^{2}}cm}{3}=\frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm](/tpl/images/1616/0900/d14c2.png)
3) Далее находим радиус вписанной окружности основания:
AB = MO×2√3 - нахождение стороны основания.
MO = AB/2√3 - радиус вписанной окружности основания
MO = ![\frac{\frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm}{2\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{8\sqrt[4]{27}\sqrt[4]{3^{2}}}{3}cm}{2*3}=\frac{\frac{8\sqrt[4]{27*9}}{3}cm}{6} = \frac{\frac{8\sqrt[4]{243}}{3}cm}{6}=\frac{\frac{8\sqrt[4]{81*3}}{3}cm}{6}=\frac{\frac{8*3\sqrt[4]{3}}{3}cm}{6}=\frac{8\sqrt[4]{3}cm}{6}=\frac{4\sqrt[4]{3}}{3}cm](/tpl/images/1616/0900/14522.png)
4) Далее находим площадь грани:
Sбок = 3Sграни ⇒ Sграни = Sбок/3 = 96 см²/3 = 32 см², тогда высота грани:
SM = 2Sграни/AB - Высота с площадью грани
![SM = \frac{2*32cm^{2}}{\frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm}=\frac{24}{\sqrt[4]{27}}cm*\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}=\frac{24\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{81}}cm=\frac{24\sqrt[4]{3}}{3}cm = 8\sqrt[4]{3}cm](/tpl/images/1616/0900/1aba0.png)
5) И теперь находим высоту SO по теореме Пифагора:
SO = √SM² - MO² - нахождение высоты SO
![SO = \sqrt{(8\sqrt[4]{3}cm)^{2}-(\frac{4\sqrt[4]{3}}{3}cm)^{2}} = \sqrt{64\sqrt{3}cm^{2}-\frac{16\sqrt{3}}{3}cm^{2}}=\sqrt{\frac{560\sqrt{3}}{9}cm^{2}}=\frac{\sqrt{560\sqrt{3}}}{3}cm = \frac{\sqrt{16*35\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{4\sqrt{35\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{4\sqrt{\sqrt{35^{2}}*\sqrt{3}}}{3}cm = \frac{4\sqrt{\sqrt{1225*3}}}{3}cm = \frac{4\sqrt{\sqrt{3675}}}{3}cm = \frac{4\sqrt[4]{3675}}{3}cm](/tpl/images/1616/0900/1e2ec.png)
ответ: ![AB = \frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm](/tpl/images/1616/0900/82eb3.png)
![SO = \frac{4\sqrt[4]{3675}}{3}cm](/tpl/images/1616/0900/96e5c.png)
P.S.
Рисунок показан внизу:↓
Дано: равносторонний треугольник АВС, R = 20 см
Найти: P - ?
1. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника равен двум радиусам вписанной в него окружности => r = 20:2 = 10 см.
2. Если сложить два радиуса, получим высоту, медиану и биссектрису треугольника одновременно, так как он равносторонний => этот отрезок равен 10 + 20 = 30.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который отсёк этот отрезок (прямоуг. т. к. высота). Одна из сторон будет равна Х, другая - 2Х (т.к. Х - половина стороны р/ст треугольника, которую отсекла медиана, являющаяся высотой)
По теореме Пифагора находим Х:
4х² - х² = 900
3х² = 900
х² = 300
х = 10√3 и х = -10√3, но этот корень не подходит по усл., а значит он посторонний.
3. 10√3 - половина стороны, значит вся сторона = 20√3
Р = 3 * 20√3 = 60√3
ответ: 60√3
