ответ: Угол А=68°
Объяснение:
Треугольник, вершинами которого являются основания высот какого либо треугольника, называется ортотреугольником.
а) В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
б) Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
Для решения данной задачи достаточно применить второе из указанных свойств.
Высоты ∆ АВС перпендикулярны его сторонам.
∠ВВ1 делит угол В1 на два по 66°:2=33°. ⇒ ∠С1В1А=∠ВВ1А-∠ВВ1С1=90°-33°=57°
Аналогично ∠В1С1А=90°-0,5∠А1С1В1=90°-70°:2=55°.
Сумма углов треугольника 180°⇒
∠А=180°-(АС1В1+АВ1С1)=180°-(57°+55°)=68°.
Углы В и С вычисляются таким же образом:
∠В=57°, ∠С=55°
—————
Обратим внимание на то, что углы при вершинах ∆ АВС равны разности между прямым углом и половиной угла ортотреугольника при основании высоты из вершины исходного треугольника..
Для угла А=90°- 0,5•угол А1=90°-22°=68°
Для угла В=90°-0,5•угол В1=90°-33°=57°
Для угла С=90°-0,5•угол С1=90°-35°=55°
ответ: ∠А1=40°; ∠В1=60°; ∠С1=80°
Объяснение: Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высоты из острых углов В и С пройдут перпендикулярно продолжениям сторон СА и ВА вне его плоскости.и пересекутся в некоторой точке К.
Прямоугольные треугольники АВВ1 и АСС1 - подобны по острому углу при А ( эти углы равны как вертикальные) Эти же острые углы при А смежные углу ВАС и равны 180°-110°=70° каждый.
В ∆ АВВ1 и ∆ АСС1 ∠ АВВ1 и ∠АСС1 равны 90°-70°=20°
В ∆ ВКА1 ∠ВКА1=90°-(40°+20°)=30°.
В ∆ СКА1 ∠СКА1=90°-(30*=20°)=40°
Последовательно найдем части углов ∆ А1В1С1 и углы А1, С1, В1.
а) Гипотенуза прямоугольных ∆ ВКС1 и ∆ СКА1 - общая => вокруг них можно описать окружность с диаметром ВК.
Вписанный ∠ВС1А1=∠ВКА1=30° ( опираются на одну дугу ВА1)
Вписанный ∠КА1С1=КВС1=20° ( опираются на одну дугу КС1)
б) Гипотенуза КС - общая для прямоугольных треугольников КСА1 и КСВ1. Вокруг них опишем окружность с диаметром КС.
Вписанный ∠КА1В1=КСВ1=20° ( опираюстя на одну дугу КВ1)=>
В треугольнике А1В1С1 ∠А1=угол В1А1К+КА1С1=40°
Вписанный ∠СВ1А1=СКА1=40° (опираются на дугу СА1)
с) Гипотенуза ВС прямоугольных треугольников ВВ1С и ВС1С общая. Опишем вокруг низ окружность с диаметром ВС.
Вписанный ∠ВС1А1 =углу ВКА1=30°=>
В треугольнике А1В1С1 ∠С1=В1С1В+ВС1А1=30°+30°=60°
Из суммы углов треугольника ∠С1=180°-∠А1-∠В1=180°-40°-60°=80°
=========
Есть более короткий решения по теореме: В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному. Величина искомых углов получится той же, что в данном решении.
