Прямоугольник СМР вписан в ∆АВС прямым углом С. Стороны прямоугольника СМ и СР лежат соответственно на катетах АС и ВС. Найти ВС, если МN=4; МС=3; АС=10

Условие задачи дано с ошибкой: если в основании прямоугольного параллелепипеда квадрат, то диагональ основания составляет с боковой гранью угол 45°, а не 30°. Кроме того, по этим данным невозможно найти высоту прямоугольного параллелепипеда.

Задача встречается в таком виде:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда  равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.

DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.

ΔB₁C₁D: ∠C₁ = 90°,
                 B₁C₁ = DB₁ · sin30° = 12 · 1/2 = 6 - ребро основания
                 DC₁ = DB₁ · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3

ΔDCC₁: ∠C = 90°, по теореме Пифагора
               СС₁ = √(DС₁² - DC²) = √(108 - 36) = √72 = 6√2 - высота параллелепипеда

V = Sосн·H = 6² · 6√2 = 216√2

Объяснение:

Пусть радиус основания цилиндра х, тогда высота цилиндра (х+12) см.

В осевом сечении цилиндра-прямоугольник⇒х(х+12)=90.

х²+12х-90=0  , Д=в²-4ас, Д=144+4*90=504=36*14

х₁=(-в+√Д):2а , х₁=(-12+6√14):2=-6+3√14=3√14-6>0 , т.к.3√14=√126, √126>√36.

х₂=(-в-√Д):2а , х₂=(-12-6√14):2.=-6-3√14 не подходит по смыслу задачи.

r=3√14-6  , h=12+3√14-6=6+3√14.

V=S(осн)*h.  

S(осн)=Пr²,   S(осн)=П(3√14-6)²

V= П(3√14-6)² *(6+3√14)=П(3√14-6)² *(3√14+6)=П(3√14-6)*(3²√14²-6²)=

=П(3√14-6)*(126-36)=90П(3√14-6) (см²)