1)
Центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса=4√2. Найдите его объем.
----------
Образующая конуса L- радиус окружности с центром В, частью которой является его развертка АВС.
Формула длины окружности =2πR =2πL, где L- образующая конуса.
Т.к. угол АВС=120°, а полная окружность содержит 360°, длина дуги АС=1/3 длины окружности, содержащей развертку конуса.
◡AC=2πL/3
В то же время дуга АС этой окружности равна длине окружности основания конуса.
2πr=2πL/3 ⇒ L=3r
Из треугольника, образованного высотой конуса и радиуса ( катеты) и образующей ( гипотенуза) найдем по т.Пифагора радиус основания конуса.
L²-r²=h²
9r²-r²=32
r²=32:8=4
V(кон)=πr²•h/3
V=(π4•4√2):3=(π16√2):3
(ед. объёма)
2)
В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани= m. Боковые грани наклонены к основанию под углом a (альфа). Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.
Правильная пирамида МАВС – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник АВС, а вершина М пирамиды проецируется в центр О этого треугольника.
Образующей вписанного в пирамиду конуса является апофема пирамиды, а основание этого конуса ограничено окружностью, вписанной в основание пирамиды, т.е. в ∆ АВС.
Радиус конуса равен 1/3 высоты СН правильного треугольника АВС
Расстояние от вершины С основания АВС до грани АМВ - высота треугольника СМН, плоскость которого перпендикулярна грани АМВ и основанию АВС.
Угол α образован прямыми СН и МН, перпендикулярными ребру АВ в точке Н.
r=OН=(КС:sinα):3=(m:sinα):3 =m:3sinα ⇒
высота МО=OH•tgα=(m:3sinα):sinα/cosα=m:3cosα
МА и МВ – наклонные, проведенные из точки М к плоскости. Проведём из точки М перпендикуляр МО к плоскости.
Отрезок соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной называется проекцией наклонной. Тогда АО – проекция МА, ОВ – проекция МВ.
Если прямая перпендикулярна плоскости, значит данная прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости. Следовательно угол МОА=90°, угол МОВ=90°, то есть треугольники МОА и МОА прямоугольные.
Пусть МА – меньшая наклонная и она будет равна х см, тогда МВ равна х+1 см, АО=3 см, ОВ=2√5 см.
В прямоугольном треугольнике МОА по теореме Пифагора:
МА²=МО²+АО²
МО²=МА²–АО²
МО²=х²–3² (Ур 1)
В прямоугольном треугольнике МОВ по теореме Пифагора:
МВ²=МО²+ОВ²
МО²=МВ²–ОВ²
МО²=(х+1)²–(2√5)² (Ур 2)
Поставим значение МО² из Ур 1 в Ур 2:
х²–3²=(х+1)²–(2√5)²
х²–9=х²+2х+1–20
х²–х²–2х=–20+1+9
–2х=–10
х=5
Тогда получим что МА=5 см, а МВ=6 см.
ответ: 5 см, 6 см.
