Есть простое решение, использующее свойство медиан: три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих (одинаковой площади, но не равных) треугольников. Данный нам треугольник АВС Пифагоров (его стороны равны 3,4 и 5 см). Sabc=6см² и каждый из треугольников имеет площадь, равную 1см². Тогда искомое расстояние - высота треугольника (одного из шести) с катетом на гипотенузе AB. h=2S/АM = 2/(2,5)=0,8 см.
Но для практики решим эту задачу через формулу медианы треугольника, свойство медиан, делящихся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины и формулу Герона для площади. Пусть в треугольнике АВС <С=90° и стороны АС=b=3, ВС=а=4 и АВ=с=5. Найдем медианы Ма и Мc по формуле: Ma=(1/2)*√(2b²+2c²-a²). Ma=(1/2)*√(2*(3²)+2*(5)²-4²)=(1/2)*√(18+50-16)=√52/2. Mc=(1/2)*√(2*(3²)+2*(4)²-5²)=(1/2)*√(18+32-25)=5/2. Тогда отрезки медиан: АО=(2/3)*(√52/2)=2√13/3. ОМ=(1/3)*(5/2)=5/6. В треугольнике АОМ имеем (сразу приведя к общему знаменателю): АМ=5/2 = 15/6. АО=2√13/3=4√13/6. ОМ=5/6. Периметр Р=(20+4√13)/6. Полупериметр р=(10+2√13/6). Тогда по формуле Герона Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] имеем: Sаom=√[(10+2√13)*(10+2√13-15)*(10+2√13-4√13)*10+2√13-5)]/36. Или:Sаom=√[(10+2√13)*(2√13-5)*(10-2√13)*(2√13+5)]/36. Мы видим, что у нас под корнем произведение разности квадратов: Sаom=√[(10²-(2√13)²)*((2√13)²-5²)/36 = √(48*27)/36=36/36 =1. Итак, мы пришли к началу: Искомое расстояние (высота ОН, проведенная к основанию АМ треугольника АОМ: ОН=2Sbom/АМ = 2/2,5 = 0,8. ответ: ОН=0,8см.
P.S. Решение приведено для тех, кто не любит формулу Герона, тем более, когда в полупериметре встречаются корни. Чаще всего (если не всегда) приходим к произведению разности квадратов в подкоренном выражении.
Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найти: а) сторону основания призмы. б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания в) площадь боковой поверхности призмы. г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
В основаниях правильной призмы - правильные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Следовательно, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Треугольник ВD1А - прямоугольный (в основании призмы - квадрат, и ребра перпендикулярны основанию. а) Сторона основания противолежит углу 30°, поэтому АВ=а*sin 30=a/2 б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - это угол между диагональю ВD1 призмы и диагональю ВD основания. ВD как диагональ квадрата равна а√2):2 cos D1BD=BD:BD1=( а√2):2):a=(√2):2), и это косинус 45 градусов. в) площадь боковой поверхности призмы находят произведением высоты на периметр основания: S бок=DD1*AB= (а√2):2)*4*a/2=a²√2 г) Сечение призмы, площадь которого надо найти, это треугольник АСК. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Верным является и обратное утверждение. Высота КН - средняя линия прямоугольного треугольника BDD1. Она параллельна диагонали призмы, а само сечение проходит через диагональ АС основания. S Δ(АСК)=КН*СА:2 SΔ (АСК)=(0,5а*а√2):2):2=(а²√2):8
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
