4. Верхний конец лестницы, приставленной к стене, образует со стеной угол 60 градусов. Длина лестницы 10 м. Найдите расстояние от нижнего конца лестницы до стены. На какой высоте от земли упирается в стену верхний конец лестницы?

Сделаем доп построения: проедем высоту ВЕ из вершины В.
В нашей трапеции образовалось два треугольника: АВЕ и CDH (CH - высота из условия задачи, сами мы ввели только вершину Н для удобства);
рассмотрим эти два треугольника:
угол А=углу D, угол Е= углу Н=90 (т.к. ВЕ и СН - высоты) => угол АВЕ=углу DCH (сумма углов в треугольнике равна 180 градусов) => по двум углам и стороне между ними рассматриваемые треугольники равны => AE=DH=8;
Чтобы найти EH, нужно из АН вычесть DH, т.е. ЕН=15-8=7.
РАссмотрим чет-ник ВСНЕ:
в нем ВСII ЕН (т.к. они части осноания трапеции),ВС=ЕН;
все углы в нем по 90 градусов => 
т.о. ВС=ЕН=7 см

1) в равнобедренном тр-ке углы при основании равны, <A=<C
Т.к. <B=42°, и сумма углов тр-ка равна 180°, то сумма углов 
<A+<C=180°-42°=138
<A=<C=138°/2=69°
2) сумма смежных углов равна 180°, пусть один равен 5х, другой 7х, получим
5х+7х=180°
12х=180°
х=15
Значит 5х=5*15=75°, 7х=105°
разность равна 105-75=30
3) медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Поэтому АВ=2АК=4, ВС=2ВМ=6, АС=2СN=8. Периметр тр-ка АВС равен: Р=4+6+8=18 см
4) пусть <K=x, <P=0,6x, <M=0,6x+4. Т.к. сумма углов треугольника равна 180°, получим уравнение и решим его
х+0,6х+0,6х+4=180
2,2х=176
х=80° (<К)
<Р=0,6*80=48°
<М=48+4=52°