В прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 90° AB равно 4 см, CB равно 7 см Найдите расстояние от точки A до прямой BC

<ABE = <CBE ;  BD =CD ;  AD⊥ BE ; AD =BE =104.

BC =a ==>? , AC =b  ==>? , AB =c ==>?

Точка пересечения  AD и  BE обозначаем  через O .
Биссектриса  BO  одновременно и высота , значит ΔABD  равнобедренный (BD =AB) :
 BD =BC/2 =AB⇒BC=2AB⇔ a =2c.
CE/EA =BC/AB = 2;
EA =x ; CE=2x ; AC =b=3x .
Можно использовать формулы для  вычисления медиан и биссектрис :
a² + ( 2AD)²=2(c² +b²)        (1)  ; 
BE² =AB*BC - AE*EC       (2)  .

(2*104)² =2(c² +(3x)²) -(2c)²     * * * * *    a =2c    * * * * *
104² = c*2c - x*2x .         * * * * *  c² =x² +5408  = x² +26²*8 * * * * *  

(2*104)² =18x² -2c²  ;  
104² = -2x² +2c² .      * * * * *  суммируем    * * * * *  
(4x)² =(2*104)² +104² ;
4x =104√5;
x =26√5 .
AC =3x =3*26√5 =78√5 . 
c² =(26√5)² +26²*8 ;
c =26√13.
a =2c =52√13.
 
ответ:   BC =52√13 ; AC =78√5  ;  AB =26√5 .

АМ и ДМ - биссектрисы углов А и Д. МЕ и МН - расстояния от точки М до прямых АВ и АД. Значит нужно доказать, что МЕ = МН.
(Рисунок не совсем качественный получился, но для решения пойдет)
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Значит тр-ки АЕМ и АНМ прямоугольные. У них гипотенуза АМ общая, а углы ЕАМ = НАМ так как АМ - биссектриса. Значит тр-ки АЕМ = АНМ по гипотенузе и острому углу. Из равенства тр-ков следует равенство их соответствующих сторон, т.е. МЕ = МН, что и требовалось доказать.

Р.С. Этого всего можно было и не делать, так как есть теорема, что любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.