В треугольнике DEF сторона DE равна 53 см, EF = 37 см. Серединный перпендикуляр, проведённый к стороне DF, пересекает сторону DE в точке M. Затем точку M соединили с вершиной F. Вычисли периметр треугольника FEM.

Рассмотрим параллелограмм АВСД (см. рисунок) стороны которого: АВ=32 см, ВС=40 см. Из угла АВС проведем перпендикуляр ВЕ и расстояние между вершинам тупых углов ВД
Рассмотрим треугольник АВЕ:
Угол АЕВ=90 градусов, Гипотенуза АВ=32 см, Катет АЕ=16 см (по условию задачи)
По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту):
ВЕ= √(АВ^2-АЕ^2)= √(32^2-16^2)= √(1024-256)= √768 см.
Теперь рассмотрим треугольник BДE:
ДЕ=АД-АЕ=40-16=24 см. ВЕ=√768 см. Угол ВЕД=90 градусов
По теореме Пифагора найдем ВД:
ВД=√(ВЕ^2+ВД^2)= √((√768)^2+24^2))= √(768+576)= √1344=8√21 см или приблизительно 36,66 см.
ответ: расстояние между вершинами тупых углов равно 8√21 см

Задача на подобие треугольников. 
Пусть радиус меньшей окружности будет r, тогда радиус большей R=20-r см
Центры касающихся окружностей лежат на одной прямой, проходящей через точку касания окружности; прямая АВ проходит через ту же точку, что и отрезок, соединяющий центры  окружностей. 
В треугольниках АО₁С и ВО₂ углы при С равны, значит, их углы при А и В  тоже равны, т.к. являются углами при основании равнобедренных треугольников, образованных радиусами окружностей как боковыми сторонами.
.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Из подобия треугольников 
АС:СВ=r:(О₁О₂-r)
12:18=r:(20-r)
12*(20-r)=18r
240=30r
r=8 см
R=20-8=12 см