Задание 5 ( ). Вершины B и D треугольников ABC и ADC лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, АВ = ВС, AD = DC. Точка К лежит на луче BD так, что точка D лежит между точками B и K. Докажите, что треугольники ADK и СDK равны.

А) BD ищется из треугольника ABD по теореме Пифагора:
BD^2 = AB^2 + AD^2, откуда BD = 13 см.

Б) проведём высоту CH к основанию AD. Тогда ABCH - прямоугольник, AH = BC и CH = AB = 5 см.
Треугольник CDH - прямоугольный с прямым углом CHD.
Причём так как угол D равен 45 градусам, то угол DCH = 45 градусов в силу того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Значит, треугольник CDH - равнобедренный. CH = DH = 5 см.
Ищем CD по теореме Пифагора:
CD^2 = CH^2 + DH^2, откуда CD = 5*sqrt(2) см. (Sqrt - это квадратный корень).

3) Треугольник ACH прямоугольный с прямым углом AHC.
AH = AD - DH = 12 - 5 = 7 см.
Ищем AC по теореме Пифагора:
AC^2 = AH^2 + CH^2, откуда AC = sqrt(74) см.

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол COD равен 32°. Найдите углы ODA, OAB, BOC, BOA.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Дано :

Четырёхугольник ABCD - прямоугольник.

АС∩BD = O.

∠COD = 32°.

Найти :

∠ODA = ?

∠ОАВ = ?

∠ВОС = ?

∠ВОА = ?

∠ВОА = ∠COD = 32° (так как вертикальные).

∠ВОС + ∠COD = 180° (так как смежные) ⇒ ∠ВОС = 180° - ∠COD = 180° - 32° = 148°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, АО = ВО = СО = DO.

Рассмотрим ΔCOD - равнобедренный (по определению).

По теореме о сумме углов треугольника - ∠COD + ∠OCD + ∠ODC = 180° ⇒ ∠OCD + ∠ODC = 180° - ∠COD = 180° - 32° = 148°.

Учитываем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны - ∠ODC = ∠OCD = 148° : 2 = 74°.

Тогда ∠ODA + ∠ODC = 90° ⇒ ∠ODA = 90° - ∠ODC = 90° - 74° = 16°.

Рассмотрим ΔВОА - равнобедренный (по определению).

По теореме о сумме углов треугольника - ∠ВОА + ∠ОАВ + ∠ОВА = 180° ⇒ ∠ОАВ + ∠ОВА = 180° - ∠ВОА = 180° - 32° = 148°.

Учитываем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны - ∠ОАВ = ∠ОВА = 148° : 2 = 74°.

∠ODA = 16°, ∠ОАВ = 74°, ∠ВОС = 148°, ∠ВОА = 32°.