Контрольная работа № 1 по геометрии, 8 класс. Тема «Четырехугольники ». ВАРИАНТ II.

1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что ДАОВ - равнобедренный; 6) BD=5 см, AB=4 см. Найдите периметр

треугольника АОВ.

2. Найдите боковую сторону равнобедренной

трапеции, основания которой равны 12 cm и 6 cm,

а один из углов равен 60°.

нужно в виде решения заданийкак можно написать в тетрадь

1) Дано: ABCD - трапеция,∠А=90°, ∠С-∠В=48°.
Найти: ∠D, ∠С, ∠В
Решение: 1.Рассмотрим трапецию АВСD. ВА∫∫CD(по опр. трапеции) ⇒ сумма односторонних углов равна 180°(по св-ву парал. прям. и сек.). Пусть секущей будет DA, тогда ∠А+∠D=180° ⇒ ∠D=180°-90°=90°. Возьмем СВ как секущую, тогда ∠С+∠В=180°(по св-ву).
2. Получим систему:
∠С+∠В=180°
∠С-∠В=48°
Такое возможно, только если один из углов равен 114, а второй 66. (Найти можно методом подбора). Тогда ∠С=114°(т.к.он тупой), а ∠В=66°(т.к.он острый).
ответ: 90°, 114°, 66°
2) Дано: ABCD - прямоугл., ∠АВО=36°
Найти: ∠АОD
Решение:1.Рассмотрим BD и АС. Они пересекаются в точке О, при этом делятся пополам(по св-ву параллелогр.). Также диагонали равны(по св-ву прямоуг.)⇒ВO=ОА.
2.Рассмотрим ΔВОА: ВО=ОА ⇒ ΔВОА - равнобедр.(по опр.) ⇒ ∠ОВА=∠ВАО=36°(по св-ву равноб. Δ). По теореме о сумме углов треугольника найдем ∠ВОА: 180-36-36=108°.
3. ∠ВОА смежен с ∠АОD. То есть их сумма равна 180(по св-ву) ⇒ ∠AOD=180-108=72°
ответ: 72°

ответ: АР=8

Объяснение (подробно):

ТР - биссектриса ⇒ ∠КТР=∠РТМ.

Т.к. около четырехугольника описана окружность, все углы, вершины которых лежат на ней, -вписанные. Вписанные  углы, которые опираются на одну дугу,  равны; равны и хорды, которые стягивают равные дуги.

 Угол РМК опирается на дугу РК,  и угол КТР опираются на дугу КР,  следовательно они равны. Но им равен и угол РТМ , следовательно, равны хорды КР=РМ=16.

Примем АР=х. Тогда ТР=ТА+х=24+х

Рассмотрим ∆ ТКР и АКР. Они имеют по два равных угла, следовательно, подобны. Из их подобия следует отношение ТР:КР=КР:АР ⇒

(24+х):16=16:х

Из пропорции получаем 14х+х²=256 ⇒ х²+24х-256. Решив квадратное уравнение находим х₁=8; х₂=-32 ( не подходит).

АР=х=8.