А4. На сторонах AB и вс треугольника АВС выбраны соответ- ственно точки РиQ так, что ВР : PA - 1 : 2 и BQ : Qс.
= 4 : 1.
а) Найдите отношение площадей треугольников BPQ и ABC.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP
площади треугольника PBQ.

Для решения данной задачи, давайте посмотрим на оба пункта по очереди.

а) Найдем отношение площадей треугольников BPQ и ABC.
Для этого нам нужно выразить площади этих треугольников через данное отношение длин сторон BP и PA.

По условию, известно, что ВР : PA = 1 : 2.
Значит, длина стороны BP равна половине длины стороны PA, то есть BP = PA/2.

Теперь нужно выразить площади треугольников BPQ и ABC через данное отношение сторон.

Площадь треугольника вычисляется по формуле s = (1/2) * основание * высота.

Для треугольника BPQ основание это сторона BQ, а высоту можно взять, например, из вершины P. Обозначим высоту как h.
Тогда площадь треугольника BPQ равна s(BPQ) = (1/2) * BQ * h.

Для треугольника ABC основание это сторона AC, а высоту можно взять, например, из вершины B. Обозначим высоту как H.
Тогда площадь треугольника ABC равна s(ABC) = (1/2) * AC * H.

Нам нужно найти отношение площадей BPQ и ABC, то есть BPQ/ABC.
Подставим формулы для площадей треугольников:
BPQ/ABC = [(1/2) * BQ * h] / [(1/2) * AC * H].
Заметим, что коэффициент 1/2 сократится:
BPQ/ABC = (BQ * h) / (AC * H).

Так как стороны BQ и AC заданы в условии, остается найти высоты h и H.

Обратимся к теореме Пифагора для треугольников ABP и ABQ:
(AB)² = (PA)² + (BP)²,
(AB)² = (QA)² + (BQ)².

Подставим в первое уравнение известное соотношение BP = PA/2:
(AB)² = (PA)² + (PA/2)²,
4(AB)² = 4(PA)² + (PA)²,
4(AB)² = 5(PA)²,
(AB)²/AB = 5(PA)²/AB.

Аналогично, подставим во второе уравнение известное соотношение BQ = 4(QC):
(AB)² = (QC)² + (4QC)²,
(AB)² = 17(QC)²,
(AB)²/AB = 17(QC)²/AB.

Полученные выражения (AB)²/AB и (AB)²/AB можно рассматривать как высоты треугольников BPQ и ABC соответственно.

Теперь подставим найденные выражения для высот в формулу отношения площадей BPQ и ABC:
BPQ/ABC = (BQ * h) / (AC * H) = [(BQ * (AB)²/AB) / (AC * (AB)²/AB)] = BQ/AC.

Таким образом, отношение площадей треугольников BPQ и ABC равно отношению длин сторон BQ и AC, то есть 4:1.

б) Найдем отношение площади четырёхугольника ACQP и площади треугольника PBQ.
Для этого нужно выразить площади этих фигур через данное отношение длин сторон BQ и QC.

По условию, известно, что BQ : QC = 4 : 1.
Значит, длина стороны BQ равна 4 разам длине стороны QC, то есть BQ = 4QC.

Обозначим площадь четырёхугольника ACQP как s(ACQP) и площадь треугольника PBQ как s(PBQ).

Тогда, нужно найти отношение s(ACQP)/s(PBQ).
По определению, площадь четырёхугольника ACQP равна сумме площадей треугольника ABC и треугольника BPQ:
s(ACQP) = s(ABC) + s(BPQ).

Подставим найденные формулы для площадей треугольников BPQ и ABC:
s(ACQP) = (1/2) * AC * H + (1/2) * BQ * h.

Теперь подставим известные соотношения для сторон BQ (BQ = 4QC) и AC в формулу для площади четырёхугольника ACQP:
s(ACQP) = (1/2) * AC * H + (1/2) * 4QC * h.

Для треугольника PBQ, площадь вычисляется также по формуле s = (1/2) * основание * высота.
Основание это сторона BQ, а высоту можно взять, например, из вершины P. Обозначим высоту как h_PBQ.
Тогда площадь треугольника PBQ равна s(PBQ) = (1/2) * BQ * h_PBQ.

Подставим известное соотношение для сторон BQ (BQ = 4QC) в формулу для площади треугольника PBQ:
s(PBQ) = (1/2) * 4QC * h_PBQ.

Теперь можем выразить отношение площадей s(ACQP) и s(PBQ):
s(ACQP)/s(PBQ) = [ (1/2) * AC * H + (1/2) * 4QC * h ] / [ (1/2) * 4QC * h_PBQ ].

Заметим, что коэффициент 1/2 сократится:
s(ACQP)/s(PBQ) = [ AC * H + 4QC * h ] / [ 4QC * h_PBQ ].

Теперь остается найти высоты H и h_PBQ.
Рассмотрим треугольники ABC и ABQ:
(AB)² = (PA)² + (BP)²,
(AB)² = (QA)² + (BQ)².

Подставим в первое уравнение известное соотношение BP = PA/2:
(AB)² = (PA)² + (PA/2)²,
4(AB)² = 4(PA)² + (PA)²,
4(AB)² = 5(PA)²,
(AB)²/AB = 5(PA)²/AB.

Аналогично, подставим во второе уравнение известное соотношение BQ = 4(QC):
(AB)² = (QC)² + (4QC)²,
(AB)² = 17(QC)²,
(AB)²/AB = 17(QC)²/AB.

Полученные выражения (AB)²/AB и (AB)²/AB можно рассматривать как высоты треугольников PBQ и ABC соответственно.

Теперь подставим найденные выражения для высот в формулу отношения площадей ACQP и PBQ:
s(ACQP)/s(PBQ) = [ AC * H + 4QC * h ] / [ 4QC * h_PBQ ] = [ AC * (AB)²/AB + 4QC * (AB)²/AB ] / [ 4QC * (AB)²/AB ] = (AC + 4QC) / 4QC.

Таким образом, отношение площади четырёхугольника ACQP к площади треугольника PBQ равно (AC + 4QC) / 4QC.