6. ( ) Катети одного прямокутного трикутника відносяться як 3:4, а периметр подібного трикутника дорівнює 48см. Знайти гіпотенузу подібного трикутника.

Рассмотрим треугольник АВМ, образованный диагональю основания АВ и двумя боковыми сторонами АМ ВМ. Углы с основанием по 60 градусов, угол при вершине тоже 60. Треугольник равносторонний.
Высота этого треугольника МК=10 см по условию.
АК/МК = tg(30°)
АК = 10tg(30°) = 10/√3 см
АВ = 20/√3 см
Площадь основания - половина произведения диагоналей
S₁ = 1/2*(АВ)² = 1/2*400/3 = 200/3 см²
---
Сторона основания
S₁ = a²
a² = 200/3
a = √(200/3) = 10√(2/3) см
Половина основания
a = 5√(2/3) см
Половину основания и боковую сторону мы знаем, по Пифагору найдём апофему f
f² + (5√(2/3))² = (20/√3)²
f² + 25*2/3 = 400/3
f² = 350/3
f = 5√(14/3) см
Площадь боковой грани
S₂ = 1/2*a*f = 1/2*5√(2/3)*5√(14/3) = 25√7/3 cм²
И полная поверхность
S = S₁ + 4S₂ = 200/3 + 4*25√7/3 = 100/3(2 + √7) см²

Чертёж и дано во вложении. итак, рассмотрим треугольник АВС. по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника угол ВАС равен 90°-30°=60°. тогда угол DCA равен 90°-60°=30° по той же теореме, а угол DCB равен 90°-30°=60°(вычитаем известную часть из прямого угла С). у нас есть два угла по 30°, и мы знаем, что катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. отсюда АС=0,5АВ и АD=0,5AC. объединив эти выражения, можем сделать вывод, что АD=0,5(0,5AB)=0,25AB. 0,25=1/4, значит, на весь отрезок АВ из 4 часей приходится только 1 часть АD. но ведь АВ состоит ещё и из DB, который, соответственно, составляет 4-1=3 части от АВ. то есть, АВ:ВD=4:3, что и требовалось доказать.