Дано: треугольник ABC, D =12 Найти: BC

∆АВС - равнобедренный, АВ = ВС. О - центр вписанной окружности, АС = 10 см. Г∆АDК + Р∆NМС + Р∆ЕВF = 42 см. Найти: АВ. Решения: По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: КР = КХ, XN = NL, LM = MY, YF = FR, RE = EZ, ZD = DP. KN = KX + XN, NM = NL + LM, MF = MY + YE, FE = FR + RE, DE = D + ZD, DK = DP + PK. Отсюда имеем: KN + FM + ED = NM + FE + ZК. АВ + ВС + AC = (AD + DE + EB) + (BF + FM + MC) + (AK + KN + NC) = = (BE + BF) + (CM + CN) + (AK + AD) + (DE + FM + КN) = = (BE + BF) + (CM + CN) + (AK + AD) + (ZK + FE + NM) = = (BE + BF + EF) + (CM + CN + MN) + (AK + AD + DK) = = Г∆АDК + Р∆NМС + Р∆ЕВF = 42 см. AC = 10 см, 2АВ + 10 = 42; 2AB = 42 - 10 = 32; AC = 16 см. ответ: 16 см.

Высота равнобедренного треугольника, проведенного к основанию 6, делит основание пополам. ( cм. рисунок в приложении)
Высота разбивает равнобедренный треугольник на два прямоугольных с гипотенузой 5 см и катетом 3 см. Второй катет 4 см ( по теореме Пифагора, это египетский треугольник) 
S=6·4/2=12 кв. ед
Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности
(см. рисунок, три прямоугольных треугольника равны по катету ( высота пирамиды - общая  и острому углу)
r=S/p=12/(5+5+6)/2=24/16=3/2=1,5
H=r·tg60°=1,5·√3=3√3/2