Это хоть на задачи похоже.
4. Центры окружностей образуют равнобедренный треугольник со сторонами
24 + 15 = 39 (это две боковые стороны) и 15 + 15 = 30 (это основание). Высота к основанию легко находится, поскольку вместе с половиной основания 15 и боковой стороной 39 образует прямоугольный треугольник (15, 36, 39) (Пифагорова тройка). Высота равна 36.
Центр "внутренней" окружности расположен на этой высоте, пусть его радиус r. Расстояния от него до вершин (центров остальных окружностей) равны 15 + r, 15 + r, 24 + r. Поэтому расстояние от этого центра до основания (линии центров окружностей радиуса 15) равно 36 - (24 + r) = 12 - r;
Отсюда (15 + r)^2 = 15^2 + (12 - r)^2; 2(15 + 12)r = 12^2; r = 72/27;
5. Если продлить сторону квадрата, из вершины которой выходит касательная, до ВТОРОГО пересечения с окружностью, и обозначить эту хорду х, то
2^2 = 1(x+1); x = 3;
в результате имеются две взаимно перпендикулярные хорды длины 1 и 3, ясно, что отрезок, соединяющий их НЕ ОБЩИЕ концы - диаметр, то есть
D^2 = 1^2 + 3^2 = 10; R^2 = 5/2;
2. Если обозначить H - высота трапеции ABCD, h - высота трапеции MNCB, m = MN; a = AD; b = BC; то
(m + b)h = (a + b)H/2;
(m + a)(H - h) = (a + b)H/2;
(Это все потому, что площади трапеций NMCB и ADMN равны половине площади ABCD)
Пусть x = h/H; тогда
(m + b)x = (a + b)/2;
(m + a)(1 - x) = (a + b)/2;
Складывая оба уравнения, легко находим
x = (m - b)/(a - b);
m^2 = (a^2 + b^2)/2;
подставляем числа из условия, получаем m = 5;
1. Площадь ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ABMN равна 7*8/2 = 28;
Если обозначить AC = b; BC = a, то
Площадь треугольника АВС равна S = absin(C)/2
Площадь треугольника MNС равна (a/2)b(1-0,4)sin(C)/2 = 3S/10;
Поэтому площадь ABMN равна 7S/10 = 28; откуда S = 40;
3. самая прикольная задачка.
Пусть CD = b; СЕ = a;
Теорема синусов для тр-ка ADC (Ф - угол ВАС)
b/sinФ = AD/sin30 = 2; b = 2sinФ;
Теорема синусов для тр-ка ACE
a/sinФ = AE/sin120 = 2√3; a = 2√3sinФ;
Треугольник DCE прямоугольный, с гипотенузой DE =2;
a^2 + b^2 = 4;
Откуда sinФ = 1/2; отсюда сразу следует, что треугольник АСЕ равнобедренный с углом при вершине 120 (при основании - два угла по 30). Но это в решении не пригождается, так как h - высоту АВС, то есть расстояние от С до АВ, проще всего найти из треугольника CDE
ab = 2h; но уже найдены b = 1 и а = √3; поэтому h = √3/2;
площадь АВС равна (√3/2)*(4√3)/2 = 3.
для того, чтобы определить, является ли данная фигура параллелограммом, существует ряд признаков. рассмотрим три основных признака параллелограмма.
1. если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
2. если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
3. если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
1. рассмотрим четырехугольник abcd. пусть в нем стороны ab и сd параллельны. и пусть ab=cd. проведем в нем диагональ bd. она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: abd и cbd.
эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (bd - общая сторона, ab = cd по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей bd параллельных прямых ab и а следовательно угол3 = угол4.
а эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых bc и ad секущей bd. из этого следует что bc и ad параллельны между собой. имеем, что в четырехугольнике abcd противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник abcd является параллелограммом.
2. рассмотрим четырехугольник abcd. проведем в нем диагональ bd. она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: abd и cbd.
эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (bd - общая сторона, ab = cd и bc = ad по условию). из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. отсюда следует, что ab параллельна cd. а так как ab = cd и ab параллельна cd, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник abcd будет являться параллелограммом.
3. рассмотрим четырехугольник abcd. проведем в нем две диагонали ac и bd, которые будут пересекаться в точке о и делятся этой точкой пополам.
треугольники aob и cod будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (ao = oc, bo = od по условию, угол aob = угол cod как вертикальные углы.) следовательно, ab = cd и угол1 = угол 2. из равенства углов 1 и 2 имеем, что ab параллельна cd. тогда имеем, что в четырехугольнике abcd стороны ab равны cd и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник abcd будет являться параллелограммом.
