1)постройте равносторонний треугольник длина стороны которого 4 см, найдите образ этого треугольника при перемещении переводящему точку а в точку а', в в точку в'. 2) докажите, что фигура равная ромбу, является ромбом.

Произведение очень длинное, но этот пересказ считается кратким.

Главный герой повести – 12-летний мальчик Ваня Солнцев. Он жил в одной из русских деревень. Отец Вани погиб на войне, а его мать убили немцы. Вскоре от голода умерла его сестра и бабушка, и Ваня остался один. Когда он просил милостыню в деревне, его поймали жандармы и отправили в изолятор. Ваня сбежал из изолятора и пытался перейти через линию фронта, чтобы попасть в нашу армию. Ваню нашли русские разведчики в лесу – он спал в яме и плакал во сне. Они доставили Ваню на артиллерийскую батарею, командиром которой был капитан Енакиев. Увидев Ваню, капитан вспомнил о своей жене и сыне, которые погибли во время артиллерийского налета. Он понял, что мальчику нельзя оставаться на батарее и потому распорядился отправить Ваню в тыл. Но Ваня сбежал от ефрейтора Биденко, которому было поручено доставить мальчика по назначению. Причем, сбегал он от него не один раз. В первый раз он выскочил на полном ходу из грузовика, и ефрейтор смог найти его в лесу только случайно – мальчик залез на дерево, и из его сумки выпал букварь, который Ваня носил с собой. Букварь упал прямо на голову Биденко. Потом, сев вместе с мальчиком в попутку, ефрейтор привязал его к своей руке веревкой. Ночью он время от времени дергал за веревку, проверяя на месте ли мальчик. И только утром он обнаружил, что веревка привязана к ноге женщины, которая ехала в том же грузовике.

   Ваня два дня ходил по лесу в поисках артиллерийской батареи. Он хотел поговорить с капитаном Енакиевым, так как его отправление в тыл казалось ему самому настоящим недоразумением. И как раз капитана он и встретил, правда, не зная, что это и есть Енакиев. Он рассказал ему о том, как его нашли разведчики и как он сбежал от Биденко. Капитан привез его обратно на батарею. Так Ваня стал «сыном полка».

   Вскоре разведчикам Биденко и Горбункову дали приказ разведать расположение немецких частей. Они взяли с собой Ваню, так как он еще не получил военной формы и очень был похож на маленького пастушка. А еще Ваня очень хорошо знал здешние места, и мог провести разведчиков по таким тропам, которые никто не знает. Но Ваня решил внести свой вклад в выполнение занятия и стал зарисовывать в своем букваре месторасположение бродов на реке. В этот момент его и нашли немцы. Биденко побежал к командиру, чтобы доложить о случившемся. Енакиев был очень зол на разведчиков за то, что они взяли с собой Ваню, и отправил на выручку мальчика целый отряд. Но в это время началось наступление наших частей, и немцы стали отступать, совершенно забыв про схваченного ими «пастушка». Так Ваня опять оказался у разведчиков.

   После этого Ване выдали военную форму и капитан Енакиев, который все больше привязывался к мальчику, приказал приставить его к первому орудию одного из взводов батареи для того, чтобы тот артиллеристам.

   Наши части уже подошли к границе с Германией, и батарея Енакиева готовилась к бою. Орудие, к которому был приставлен Ваня, оказалось в самом центре боя. Капитан, который как раз накануне боя поделился с наводчиком своим желанием усыновить Ваню, узнал об этом, добрался до орудия и попытался отправить Ваню в безопасное место. Но тот наотрез отказался уходить. Тогда капитан взял лист бумаги, что-то написал на нем и отдал Ване с приказом отнести записку в штаб. Ваня не мог не выполнить приказ. Он доставил пакет в штаб и отправился назад.

   Вернувшись на батарею, он узнал, что погибли все, кто находился около первого орудия – капитан Енакиев для того, чтобы прикрыть передвижение наших частей, «вызвал огонь на себя». Перед гибелью капитан написал записку, в которой просил позаботиться о Ване.   После того, как капитана похоронили, как он и просил в прощальной записке, в родной земле, ефрейтор Биденко отвез Ваню в суворовское училище.

1) Расположим куб в системе координат так, как показано на рисунке. Точка А - совпадаем с началом координат. Тогда координаты  вершин
А(0;0;0) ;  В(0;1:0) ;  С(1; 1; 0)  ;   D(1; 0; 0) ;  В₁(0;1;1)
Координаты точки М (1; 1/2; 1/2)
Координаты векторов
   
Скалярное произведение равно 0, значит векторы ортогональны, прямые AM и B₁D перпендикулярны
Найдем координаты середины отрезка В₁D  - точки  K

K(1/2; 1/2;1/2)
Найдем координаты середины отрезка АМ - точки Е

E=(1/2; 1/4:1/4)

ответ. 1) прямые АМ и В₁D перпендикулярны, угол между ними 90°.2) расстояние между серединами отрезков АМ и В₁D  равно

Задача 2. ( см. рис. 2)
В грани ОХZ - квадрат, все стороны которого 1. Диагональ квадрата ОВ имеет длину √2 и легко находится по теореме Пифагора 1²+1²=2²
В прямоугольном треугольнике АВО  угол АВО равен 30°, угол АОВ равен 90°, так как ось оу перпендикулярна плоскости ОХZ.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° катет в два раза меньше гипотенузы. Пусть ОА=y, тогда АВ=2y
По теореме Пифагора АВ²=АО²+ВО²
(2y)²=y²+(√2)²  ⇒  3y²=2    ⇒
ответ.

Задача 3.
Так как векторы а и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Вектор a  имеет координаты (6k; 8k;-7,5k), где k- коэффициента пропорциональности
Так как угол между векторами a   и j  -  тупой, значит их скалярное произведение отрицательно.
Координаты вектора j  - (0;1:0)
Найдем скалярное произведение

Так как k<0, то к=-2
ответ. Вектор a    имеет координаты (6·(-2); 8·(-2);-7,5·(-2)=(-12; -16; 15)