11. Треугольник ACK равнобедренный, AK -- основание, CM -- высота.
∠CAK = ∠CKA = 70°: треугольник равнобедренный, прилежащие к основанию углы равны.
∠ACK = 180° – (70° + 70°) = 40°: в любом треугольнике сумма углов равна 180°.
∠ACM = ∠KCM = 40° / 2 = 20°: в равнобедренном треугольнике проведенная к основанию высота является биссектрисой.
12. Треугольник BDC равнобедренный, BC -- основание, DK -- медиана.
∠BDK = ∠CDK = 15°, ∠BDC = 15° + 15° = 30°, ∠DKB = ∠DKC = 90°: в равнобедренном треугольнике проведенная к основанию медиана является биссектрисой и высотой.
∠DBC = ∠DCB = (180° – 30°) / 2 = 75°: в равнобедренном треугольнике прилежащие к основанию углы равны между собой, а сумма всех углов любого треугольника равна 180°.
1. АА₁ - биссектриса,
ВВ₁ - медиана,
СС₁ - высота.
2. АВ = СВ,
∠АВЕ = ∠СВЕ,
ВЕ - общая сторона.
ΔАВЕ = ΔСВЕ по 1 признаку (по двум сторонам и углу между ними).
3. ∠ВАС = 180° - ∠1 по свойству смежных углов.
∠ВАС = 180° - 110° = 70°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит
∠ВСА = ВАС = 70°
∠BDC = 90°, так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.
4. ОМ = ОК по условию,
∠DMO = ∠BKO по условию,
∠DOM = ∠BOK как вертикальные, значит
ΔDMO = ΔBKO по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, значит ∠MDO = ∠KBO, а так же OD = OB.
Треугольник DOB равнобедренный, значит углы при основании равны:
∠ODB = ∠OBD.
∠MDB = ∠MDO + ∠ODB
∠KBD = ∠KBO + ∠OBD, а так как ∠MDO = ∠KBO и ∠ODB = ∠OBD, то
∠MDB = ∠KBD, т.е. ∠D = ∠B
