, )Решите задачи с теорем о вписанных и описанных четырехугольниках. а) Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен 37,5°. Найдите остальные углы трапеции

б) Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 22 см. Найдите величину боковой стороны трапеции

Проведем высоту ромба АН.М - точка пересечения этой высоты с диагональю DB.
<АМВ=<KDB (как соответственные при параллельных прямых КD и АН и секущей DB.
<AMB=<DMH как вертикальные.
Следовательно, нам надо найти синус угла DMH в прямоугольном треугольнике DHM.
Диагональ ромба делит его углы пополам. Пусть <MDH=α. Тогда острый угол ромба равен 2α. Нам дано, что Sin2α=0,6.
Sin2α=2SinαCosα. SinαCosα=0,3. Sin²αCos²α=0,09.
Cos²α=1-Sin²α. Sin²α(1-Sin²α)=0,09. Пусть Sin²α=Х. Тогда
Х²-Х+0,09=0. Находим корни этого квадратного уравнения:
D=√(1-4*0,09)=0,8  Х1=(1+0,8)/2=0,9. Х2=(1-0,8)/2=0,1.
Итак,имеем два корня: Sin²α=0,9 и Sin²α=0,1.
Тогда 1)Sinα=√0,9 ≈ 0,949; 2)Sinα=√0,1 ≈ 0,316.
Вспомним, что за угол α мы приняли ПОЛОВИНУ острого угла
ромба.
Значит первый корень нам не подходит, так как arcsin(0,949) ≈ 71°.
Итак, нас удовлетворяет ответ Sinα=√0,1.
В прямоугольном треугольнике DMH: Sinα=МH/DМ=Cosβ.
Значит Cosβ=Sinα=√0,1. Тогда Sinβ=√(1-Cosβ²)=√0,9
ответ: Sinβ=0,9.

9)

∠BAD=∠EBA=25° (как внутренние накрест лежащие углы при AD//BE и секущей AB).

∠ACD=180°-∠BAD-∠CDA=180°-25°-43°=112°

∠DCB=180°-∠ACD=180°-112°=68°

ответ: ∠DCB=68°.

10)

∠ADE+∠ADC=180° (т.к. смежные)

∠ADC=180°-∠ADE=180°-130°=50°

∠ADC+∠BAD=180° (как внутренние односторонние углы при CE//BA и секущей AD)

∠BAC=∠CAD=(180°-∠ADC)/2=(180°-50°)/2=65°

∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-65°-50°=65°

ответ: ∠ACD=65°.

11)

∠TFR=∠FRP=30° (как внутренние накрест лежащие углы при TF//RP и секущей FR).

ΔRFP-равнобедренный ⇒ ∠FRP=∠RPF=30°.

∠SFT=180°-∠TFR-∠RFP=180°-30°-(180°-∠FRP-∠RPF)=

                                      =180°-30°-(180°-30°-30°)=

                                      =180°-30°-120°=30°

ответ: ∠RPF=30°; ∠SFT=30°.

12)

ΔMEN-равнобедренный ⇒ ∠EMN=∠ENM=37°

∠ENM=∠KNE=37°

ΔEFN-равнобедренный ⇒ ∠FNE=∠FEN=37°

∠NFE=180°-∠FNE-∠FEN=180°-37°-37°=106°

∠KFE=180°-∠NFE=180°-106°=74°

ответ: ∠KFE=74°.