Дано:
АВСD - трапеция.
АС= 32 см
АС⊥ ВD
BL=LC
AM=MD
LM=20 см
Найти площадь АВСD
Сделаем рисунок к задаче.
Из вершины С трапеции параллельно ВD проведем прямую до пересечения с продолжением АD.
Точку пересечения обозначим F.
Так как СF ║ ВD по построению, а ВС параллельна DF , так как параллельна АD, а DF - продолжение АD, то
ВСDF- параллелограмм, ⇒ ВС= DF.
Рассмотрим треугольники АВС и СDF.
Они имеют равные основания и равные высоты, которые равны высоте трапеции. Следовательно, их площади также равны.
Рассмотрим треугольник АСF.
Его площадь равна площади трапеции, так как
S трапеции =S ᐃ АВС+S ᐃ ACD, а
S ᐃ АСF=S ACD+S CDF
ᐃАВС равновелик ᐃCDF
S ᐃ АВС+S ᐃ ACD=S ACD+S CDF
S АВСD= S ᐃ АСF
Так как диагонали трапециипересекаются под прямым углом,
то СF, параллельная ВD, также перпендикулярна АC.
Итак, у нас есть прямоугольный треугольник АСF, площадь которого равна площади трапеции.
Если из вершины С провести прямую, параллельную LM, до пересечения в точке Р с АD, то она будет равна ей по свойству параллельных отрезков между параллельными прямыми ( в данном случае с прямыми ВС и АD).
Точка Р отстоит от М на половину расстояния ВС, что равно половине DF.
Т.е. МР=LC= DF:2
АF=AM+MD+DF
PF=MD-M+DF
AP=PF
Cледовательно, СР - медиана прямоугольного треугольника АСF.
По свойству медианы прямоугольного треугольника
СР=АР=PF=20 см
АF=2·CP= 40 см
S ᐃ ACF=AC· CF:2
CF найдем по теореме Пифагора:
CF²= АF²- АС²=1600-1024=576
CF=√ 576=24 см
S ᐃ ACF=32·24:2=480 см²
Так как S ᐃ ACF= S АВСD,
площадь трапеции АВСD=480 см²
а) так как M и N середины, значит MN средняя линия. средняя линия равна половине основания, т.е. половине CB/ значит сторона CB равна 12.
так как угол ANM равен 60 градусам, значит угол MAN 30 градусов(90-60). катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, откуда AN равен 12, а т.к. AN это половина AB значит AB равен 24
по теореме пифагора найдем сторону AC, она равна 12V3
BM тоже найдем по теореме пифагора из треугольника MCB она равна 6V7
б) площадь равна полупроизведению катетов, 6V3*6/2=18V3
