Cоедини конец диаметра В с точкой Е.
Получишь прямоугольный треугольник АВЕ, т.к. вписанный треугольник,одна из сторон которого - диаметр, является прямоугольным.
ВЕ - высота треугольника АМВ, в то же время катет прямоугольного треугольника АВЕ.
Можно ВЕ определить по теореме Пифагора, можно просто вспомнить, что третья сторона этого египетского треугольника равна 4, т.к. две других - 3 и 5, и второй катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и катетом 3 всегда равен 4.
Итак, имеем высоту треугольника АМВ, равную 4 см, имеем основание этого треугольника
АМ=2+3=5 см
Площадь тр-ка АМВ находится по классической формуле
S=½ h·a
S=4·5:2=10 cм²
Это практически устная задача. Надо знать несколько простых вещей.
1. Отрезок ,соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Ясно, что этот отрезок - часть средней линии, заключенная между диагоналями. Куски средней линии между боковой стороной и диагональю (все равно с какой стороны) равны половине малого основания - как средние линии (в обозначениях задачи это средние линии треугольников KLM и NLM). Если обозначить основания как a и b, то
12 = (a + b)/2 - 2*(b/2) = (a - b)/2;
Кроме того, задано, что (a + b)/2 = 24;
Отсюда легко находим a = 36, b = 12;
Рассмотрим теперь подобные треугольники KAN и LAM. LN/KN = 12/36 = 1/3;
Поэтому AL/AK = AM/AN = 1/3; Но AK - AL = 10; AN - AM = 26, отсюда сразу находим AL = 5, АМ = 13.
Вот тут нам Пифагор здорово облегчает жизнь - получился треугольник со сторонами (5,12,13), то есть прямоугольный. По известной формуле радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
r = (5 + 12 - 13)/2 = 2. Это ответ.
Кстати, эта формула получается очень просто, поскольку отрезки касательных к вписанной окружности, из которых складываются стороны, включают и сам радиус r.
И, между прочим, в задаче с самого начала задана прямоугольная трапеция.
