Расстояния точек касания хорды АВ равноудалены от центра окружности О на расстояние = радиусу R.
Проведи прямую ОС, соединяющую центр окружности О и точку касания.С Эта прямая перпендикулярна и хорде АВ и касательной и т.к. они параллельны, и проходит через середину АВ. Значит, эта прямая ОС является высотой для треугольников АСВ и АОВ. Точка С, лежащая на перпендикуляре СО, проведенная к отрезку АВ через его середину, равноудалена от концов этого отрезка, значит и АС=СВ, т.е треугольник АСВ - равнобедренный.
Надеюсь то, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, доказывать не нужно?
Если да, то остается только доказать, что радиус, делящий хорду пополам перпендикулярен этой хорде.(ведь если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой)
А это доказывается легко:
1) Назовем К точку пересечения ОМ и АВ. По условию АК = КВ
2) проведем радиусы к концам хорды (к точкам А и В)
рассмотрим треугольники ОКА и ОКВ
у них
- сторона ОК общая
- стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности и между собой
- стороны АК и КВ равны
Значит, треугольники эти (по трем сторонам) равны.
Следовательно, углы ОКА и ОАВ - равные. А раз угол АКВ равен 180 градусов, то ОКА=ОКВ=180/2 = 90 градусов.
Итак, АВ перпендикулярна ОМ.
Касательная, проходящая через М тоже перпендикулярна ОМ
Следовательно АВ параллельна касательной.
В чем и хотелось убедиться вечно сомневающемуся автору задачи.))
Ура!))
