Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.
Острого угла в прямоугольном треугольнике
Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.
Определение.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Определение.
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin, cos, tg и ctg соответственно.
Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С, то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB, то есть, sin∠A=BC/AB.
Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3, а гипотенуза AB равна 7, то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cos∠A=AC/AB=3/7.
К началу страницы
Угла поворота
В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко - вводят понятие угла поворота. Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от −∞ до +∞.
В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины - угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A1, в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол α вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности.

Определение.
Синус угла поворота α - это ордината точки A1, то есть, sinα=y.
Определение.
Косинусом угла поворота α называют абсциссу точки A1, то есть, cosα=x.
Определение.
Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A1 к ее абсциссе, то есть, tgα=y/x.
Определение.
Котангенсом угла поворота α называют отношение абсциссы точки A1 к ее ординате, то есть, ctgα=x/y.
Синус и косинус определены для любого угла α, так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α. А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1), а это имеет место при углах 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0), а это имеет место для углов 180°·k, k∈Z (π·k рад).
Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k, k∈Z (π·k рад).
В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin, cos, tg и ctg, они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot, отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30°, записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α. Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π.
В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.
Такжесоответственно.
Задача 1.
<PBH=15° (дано).
<CBP = 45° (BP - биссектриса прямого угла).
<CBH = <CBP+<PBH = 45°+15° = 60°. => <C = 30°(по сумме острых углов прямоугольного треугольника НВС).
<A=60°(по сумме острых углов прямоугольного треугольника AВС).
ответ: 60°, 30° и 90°.
Задача 2.
В треугольнике может быть только один тупой угол. Следовательно, это угол против основания. Углы при основании равны. По сумме внутренних углов треугольника <C = (180°-120°):2 = 30°.
В прямоугольном треугольнике АНС (АН - высота на продолжение стороны СВ) АН = АС:2 = 4:2 =2см как катет, лежащий против угла 30°.
ответ: АН = 2см.
Задача 3.
<A = <C (треугольник АВС равнобедренный).
<PAC = (1/2)*<А (АР - биссектриса угла А).
<НАС = (1/4)*<A (AH - биссектриса угла РАС).
По сумме острых углов прямоугольного треугольника АНС (<Н = 90º - АН - высота) имеем: (1/4)*<A+<C = (1/4)*<A+<A = 90º =>
<A = 72º => <C = 72º => <B = 180-2*72 = 36º.
ответ: <A = <C= 72º , <B =36º .
