Пусть АВ = с; BC = a; AC = b;
p = (a + b + c)/2;
Я обозначаю p - c = z (в условии дано z = 3√3); или b + a - c = 2*z;
Радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен
r = S/(p - a); или r = 2*S/(b + c - a);
Теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z = b + a - c;
r = 2*S*2*z/((b + c - a)*(b - c +a)) = 4*S*z/(b^2 - (c - a)^2) = 4*S*z/(b^2 - a^2 - c^2 + 2*a*c);
Теперь надо подставить S = a*c*sin(B)/2 и b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(B); получается
r = 2*z*a*c*sin(B)/(2*a*c - 2*a*c*cos(B)) = z*sin(B)/(1 - cos(B)); это ответ в общем случае.
Если подставить sin(B) = √3/2; cos(B) = -1/2, (то есть угол В = 120°) то r = z/√3;
При z = 3√3; r = 3
Это повторение моего решения вот поправкой на числа. Там еще есть немного теории про вневписанные окружности.
Я решил добавить кое-что - мало ли, кому пригодится.
Соотношение r = S/(p - a); где r - радиус вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать очень просто. Если соединить центр О этой окружности с вершинами треугольника АВС, то
S = Sabo + Saco - Sbco (Sabo - это площадь треугольника АВО, и так далее)
В каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая - к тому же - сторона треугольника АВС.
S = AB*r/2 + AC*r/2 - BC*r/2 = (c + b - a)*r/2 = (p - a)*r; где p = (a + b + c)/2;
ЧТД.
Отсюда, кстати, сразу можно получить очень веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы Герона для площади)
S^2 = r*ra*rb*rc;
где r - радиус вписанной окружности, ra, rb, rc - радиусы трех вневписанных окружностей треугольника АВС.
Есть формулы сторон через углы в прямоугольном треугольнике.
Тангенс угла, прилежащего к катету равен отношению противоположного катета к прилежащему. В нашем случае угол, прилежащий к искомому катету равен 90°-30° = 60°.
Тангенс 60° по таблице тангенсов равен 1,7321.
Значит АС = ВС/1,7321 = (3√3)/1,7321. Но √3 = 1,7321, так что АС = 3.
А лучше так. Катет, лежащий против угла 30 равен половине гипотенузы.
Тогда с=2в, с°=4в°, а а° = 9*3 = 27. с° = а° + в°;
4в°-в°=а°
3в° = 27
в° = 9
в = 3
ответ АС = 3.
