В треугольнике две стороны равны 10 см и 17 см, а высота, опущенная на третью, равна 8 см. найти наименьшую из площадей возможных треугольников
Объяснение:
S(треуг)= 1/2*а*h. Пусть АВ=17 см,ВС=10 см, ВН=8 см, ВН ⊥АС.
Возможные треугольники с высотой равной 8 см это ΔАВС, ΔАВН, ΔВСН. У всех перечисленных треугольников одинаковая высота, значит чем меньше основание , тем меньше площадь треугольника.
АС >АН и АС>СН, тк АС это сумма АН и СН.
Т.к ВН-высота, то АВ и ВС наклонные . А чем больше длина наклонной , тем больше проекция : АВ>BC⇒АН>СН.
Значит СН<AH<AC.
ΔCВН-прямоугольный , по т. Пифагора НС=√(10²-8²)=6 (см)
S(ΔCBH)=1/2*6*8=48 (см²)
Рассмотрим ∆АВD.
P – середина АВ по условию;
Т – середина АD по условию;
Следовательно РТ – средняя линия ∆ABD. Средняя линия треугольника вдвое меньше стороны треугольника, которой она параллельна.
PT//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда РТ=0,5*BD=0,5*8=4 см
Рассмотрим ∆BCD.
Q – середина СВ по условию;
R – середина CD по условию;
Следовательно QR – средняя линия ∆BCD. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.
QR//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда QR=0,5*BD=0,5*8=4 см.
PT//BD и QR//BD => РТ//QR.
РТ=4 см; QR=4 см => РТ=QR.
Тогда получим что, две противоположные стороны четырехугольника PQRT параллельны и равны, следовательно четырехугольник PQRT – параллелограмм.
Рассмотрим ∆PBQ u ∆ABC.
Угол АВС – общий;
Так как точка Р – середина АВ, то РВ равна половине АВ
Следовательно РВ/АВ=1/2;
Так как точка Q – середина СВ, то QB равно половине СВ
Тогда QB/CB=1/2;
Исходя из найденного, ∆PBQ~∆ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а коэффициент подобия треугольников 1/2.
Следовательно PQ/AC=1/2;
2/AC=1/2;
AC=2*2
AC=4 см.
ответ: Параллелограмм; РТ=4 см; АС=4 см.
