1. ОА і ОВ - радіуси кола із центром О . Знайдіть кути трикутника ОАВ , якщо кут АОВ=112°. 2. Радіус ОС перпендикулярний до хорди АВ. Знайдіть кут АОВ , якщо кут АВС=18°.
3. До кола із центром О провели дотичну АВ (В-точка дотику). Знайдіть радіус кола , якщо АВ=8 см і кут АОВ=45°

Проведите биссектрису угла α и биссектрису угла при вершине равнобедренного Δ.Рассмотрите прямоугольный Δ, который образовался пересечением биссектрис. Его острый угол α/2, а противолежащий катет r, прилежащий катет -- половина основания. rctgα/2 --  половина основания.
2rctgα/2 -- всё основание. Рассмотрите Δпрямоугольный, у которого катеты половина основания и биссектриса, проведённая к основанию, а гипотенуза -- боковая сторона. По соотношению между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (2rctgα/2)/cosα -- боковая сторона
R=(rctgα/2)/(cosαsinα) 

 Как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. Доказательство будем строить именно на этом.

 Предположим, что тр-к ABC - равнобедренный

1) Проведём высоту AK к основанию BC. По св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. Значит, тр-ки ABK b ACK будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).

2) Проведём высоты BM и CH к сторонам АС и АВ соответственно.
 Три высоты пересекутсся в точке О, и все они будут делиться по соотношению 2:1, считая от вершин.
 В 1 действии мы доказали, что тр. ABK и ACK равны. Значит, если высоты пересекаются в одной точке , лежащей на общей стороне AK этих двух треугольников, то отрезки высот - BO-OM и CO-OH будут равны (т.к. не смещена линия симметрии):
 BO=CO
OM=OH

Если равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты:
BM = CH, чтд.

Всё!