1) Прямые  и  параллельны.         2) Прямые  и  параллельны.
        3) ∠1 и ∠2 – накрест лежащие.
        4) ∠3 и ∠4 – односторонние.
        5) ∠3 и ∠5 – соответственные
​

∠АСR = ∠ACD + ∠RCD = ∠ABC + ∠BCR = ∠ARC ⇒ ΔACR - равнобедренный, AN⊥CR, CN = NR, АС = AR = 6

∠ВСК = ∠BCD + ∠KCD = ∠BAC + ACK = ∠BKC ⇒ ΔBCK - равнобедренный, BM⊥CK, CM = MK, BC = BK = 8

CM = MK , CN = NR ⇒ MN - средняя линия ΔKCR

В ΔАВС: АВ² = АС² + BC² = 6² + 8² = 100 ⇒ AB = 10

BR = AB - AR = 10 - 6 = 4 ,  KR = BK - BR = 8 - 4 = 4  ⇒  MN = KR/2 = 4/2 = 2

===========================================================

Пусть АС = a, BC = b, AB = c, тогда АС = AR = a, BC = BK = b

BR = AB - AR = c - a,  KR = BK - BR = b - (c - a) = a + b - c  ⇒ MN = (a + b - c)/2

Следует, что MN не просто отрезок, лежащий на средней линии ΔАВС, и что удивительно! но и равен радиусу вписанной окружности в ΔАВС

MN = r = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2

ответ: 2

Дано: 
ΔCBD остроугольный  и равнобедренный ;
СB = CD ;
BB₁ ┴ CD ;
DD₁ ┴ CB ;
∠BPD =126°( P - точка пересечения высот BB₁ и DD₁).

∠С -? , ∠B =∠D -?      * * * иначе  ∠СBD = ∠СDB - ?  * * *

∠С +∠B +∠D =180 ; 
ΔCBD равнобедренный ,поэтому  
∠B = ∠D (как углы при основании равнобедренного треугольника)
 ∠B = ∠D =(180°-∠С)/2  =90°  - ∠С /2 .
Т.к. треугольника  CBD  остроугольный ,то точка  P ( ортоцентр )  пересечения высот BB₁ и DD₁ находится внутри  него .
В четырехугольнике  PB₁СD₁ :
∠С + ∠B₁PD₁ + ∠ PB₁С +∠ PD₁С =360°⇔∠С +∠B₁PD₁+90°+ 90°=360°⇔   ∠С +∠B₁PD₁= 180° , но ∠B₁PD₁ =∠BPD  как  вертикальные углы  ,   следовательно :
∠С+∠BPD =180°  ⇔ ∠С =180° - 126° =54°.
С другой стороны 
∠С +∠B +∠D =180° ⇔ ∠B=∠D =90° - ∠С/2 = 90° -54°/2 =90°-27° =63°.
* * *  ∠B +∠D =∠BPD * * *

ответ : 54°, 63°, 63°.