знайдіть периметр трикутника, кут між діагоналями якого дорівнює а, а діагоналі точкою перетину розділені на відрізки один з яких - 6 см​

 a=BC, b=AC, c=AB  Пусть биссектриса BD=x, а ∠ADB=α
по теореме косинусов a²=b²+c²-2bccosA cosA=(b²+c²-a²)/2bc=804/924=67/77
sin²A=1-cos²A=1440/77²=36*40/77²  sinA=4*√40/77
b²=a²+c²-2accosB   cosB=(a²+c²-b²)/2ac=164/484=41/121   cosB=cos2*(B/2)
=cos²B/2-sin²B/2=1-2sin²(B/2)   sin²B/2=(1-cosB)/2=40/121  sin(B/2)=√40/11
по теореме синусов:
BD/sinA=c/sinα=AD/sin(B/2)
BD/sinC=a/sin(180-α)=DC/sinB/2
берем вторые равенства и складываем sin(180-α)=sinα
(с+a)/sinα=(AD+DC)/sin(B/2)=b/sin(B/2)
sinα=(c+a)*sin(B/2)/b=33*√40/11*21=√40/7
по теореме синусов
с/sinα=BD/sinA
BD=c*sinA/sinα=22*4*√40*7/(77*√40)=8

Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (∠C=90), AL – бісектриса, яка проведена до сторони BC, тоді ∠ALC=70 градусів (за умовою).

Побудуємо рисунок трикутника та бісектриси в ньому



У прямокутному ΔALC (∠ACL=90), за теоремою про суму кутів трикутника, знайдемо ∠CAL:

∠CAL=180-∠ACL-∠ALC=180-90-70=20.

За означенням бісектриси AL в трикутнику ΔABC отримаємо:

∠A=2•∠CAL=2•20=40.

У прямокутному ΔABC (∠C=90), за теоремою про суму кутів трикутника, знайдемо ∠B:

∠B=180-∠C-∠A =180-90-40=50

Отже, ∠A=40 – менший гострий кут ΔABC.

Відповідь: 40 градусів.

Приклади на кути трикутника, та й загалом на геометричні фігури слід розв'язувати з побудови допоміжного рисунку (неважна якість, головне намалювати та позначити задані величини); далі виписування, що задано та самого обчислення шуканих величин.

Як тільки навчитеся будувати геометрію, все решта прийде в процесі розв'язування.