1) В правильном тетраэдре АВCD проведена высота DH к грани АВС. Длина ребра АС = 1. Найти:

а) высоту DH (при этом нужно сначала доказать, что точка Н лежит на определенной характерной линии в треугольнике АВС);

б) расстояния от точки H до точек А, В, С;

в) расстояния от точки H до ребер АВ, АС, DC;

г) величины двугранных углов тетраэдра;

1’)

Проверить (доказать) – пересекаются ли все высоты правильного тетраэдра в одной точке. Найти расстояния от этой точки до вершин, ребер и граней тетраэдра.

2)

В тетраэдре ABCD точки M, N, P являются серединами ребер AB, BC и CD, причем AC = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

3)

Докажите, что в тетраэдре ABCD (любом) все отрезки, соединяющие середины противоположных ребер (пары ребер AB и DC, AC и BD, AD и BC) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.