3. Прямоугольник ABCD расположен внутри сферы так, что его верши- ны лежат на поверхности сферы. Вычислите расстояние от центра
сферы до плоскости ABC, если длины сторон прямоугольника равны
12 см и 16 см, а длина радиуса сферы равна 11 см (рис. 125, в).

Нехай прямі АВ та СМ перетинаються в т.О.
Кут АОС=ВОМ, бо вони вертикальні, а вертикальні кути рівні між собою.
Кут АОМ=СОВ, бо вони вертикальні, а вертикальні кути рівні між собою.
Нехай ∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ=286°.
Суміжними називаються два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженням одна одної. 
Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
∠СОВ+∠ВОМ=180°, бо вони суміжні.
∠АОМ+∠АОС=180°, бо вони суміжні.
Виходить, що сума всіх кутів, що утворилися в результаті перетину прямих дорівнює 360°:
∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ+∠АОС=180°+180°
∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ+∠АОС=360°
Оскільки ∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ=286°, виходить
286°+∠АОС = 360°
∠АОС=360-286
∠АОС=74°.
Виходить, що ∠АОС=∠ВОМ=74°.

Тепер оскільки ∠СОВ+∠ВОМ=180°, то
∠СОВ+74°=180°
∠СОВ=180°-74°
∠СОВ=106°.
Виходить, що ∠СОВ=∠АОМ=106°.

Відповідь: два кути по 74° та два кути по 106°.

1.1) Если угол между боковым ребром и основанием 60гр., то между этим ребром и высотой - 30 гр. Поэтому высота равна h=6*cos(30) = 3корень3.

2) Площадь правильного тр-ка со строной 4 равна S = 4^2*корень3/4=4корень3.

3) V=h*S=36 см^3

ответ:36см^3

2.

72 см²

 V = Sосн · h

Основание - прямоугольник со сторонами a = 4 см и b = 6 см,

Sосн = ab = 4 · 6 = 24 см²

h = 3 см

V = 24 · 3 = 72 см³

или

Так как все грани призмы прямоугольники, то это прямоугольный параллелепипед, объем которого равен произведению трех его измерений:

V = 4 · 6 · 3 = 72 см³

3.

V=48√3см³

Объяснение: в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат поэтому все стороны основания равны. Обозначим вершины пирамиды АВСД с высотой КО и проведём две диагонали АС и ВД, которые делят основание на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых половины диагоналей являются катетами а сторона основания гипотенузой. Рассмотрим полученный ∆СОД. В нём проэкция апофемы ОМ на основание также является медианой, поскольку боковая грань пирамиды равнобедренная, поэтому медиана равна половине гипотенузы СД. ОМ=12/2=6см.

Рассмотрим ∆КМО. Он прямоугольный где КО и ОМ - катеты, а КМ- гипотенуза.

КО лежит напротив угла 30°, поэтому равен половине гипотенузы КМ. Пусть КО=х, тогда КМ=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

КМ²-КО²=ОМ²

(2х)²-х²=3²

4х²-х²=9

3х²=9

х²=9/3=3

х=√3; КО=√3см, тогда КМ=2√3см

Sосн=12²=144см²

Теперь найдём объем пирамиды зная её высоту и площадь основания по формуле:

V=⅓×Sосн×KO=⅓×144×√3=48√3см³

4.V = 7√3 см³

Объяснение: