Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»

Опр.1 Двугранным углом назыв

1/12(а³×tgα×tgβ/cosα)

Объяснение:

АВС - треугольник, лежащий в основании пирамиды АВСD.

D - вершина пирамиды. ∠С=90°; ∠А=α; а - длина стороны АС;  β - угол наклона боковых ребер к основанию.

Решение.

1. Опускаем из вершины D перпендикуляр на основание - это высота пирамиды DH.  точка H - центр окружности, описанной около треугольника ABC, а т.к. этот треугольник прямоугольный, то H - середина гипотенузы AB.             Тогда АН=0,5×АВ.

3. Находим длину катета ВС и гипотенузы АВ.

ВС=АС×tgα=a×tgα;       AB=AC/cosα = a/cosα

3. Находим высоту пирамиды DH=AH×tgβ = 0,5×tgβ×a/cosα

4. Находим площадь основания  

S = 0.5×AC×BC = 0.5×a×a×tgα = 0.5×a²×tgα

5. Рассчитываем объем пирамиды  (0.5=1/2)

V = 1/3×(S×DH) = 1/3×(0.5×a²×tgα × 0,5×tgβ×a/cosα) = 1/12(а³×tgα×tgβ/cosα)

Пусть РАВС - данная пирамида, Р-вершина, РО = √13 см - высота,
РА=РВ=РС=6 см

1. Рассмотрим Δ АОР - прямоугольный.
АО²+РО²=РА² - (по теореме Пифагора)
АО = √(РА²-РО²) = √(6² - (√13)²) = √(36-13) = √23 (см)

2. АО является радиусом описанной окружности.
R=(a√3) / 3
a= (3R) / √3 = (3√23)/√3  = √69 (см) - это длина стороны основы.

3. Находим периметр основы.
Р=3а
Р=3√69 см

4. Проводим РМ - апофему и находим ее.
Рассмотрим Δ АМР - прямоугольный.
АМ=0,5АВ=0,5√69 см
АМ²+РМ²=РА² - (по теореме Пифагора)
РМ = √(РА²-АМ²) = √(6² - (0,5√69)²) = √(36-17,25) = √18,75 = 2,5√3 (см)

5. Находим площадь боковой поверхности пирамиды.
Р = 1/2 Р₀l
Р = 1/2 · 3√69 · 2,5√3 = 3,75√207 = 3,75·3√23 = 11,25√23 (см²)

ответ. 11,25 √23 см².