Три окружности попарно касаются внешне. Радиус одной из них равен 6 см, а отрезок, соединяющий центры двух других равен 14 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.
ответ: 40 см
Объяснение: Нарисуем эти окружности Обозначим их центры А, В и С.(см. рисунок вложения).
Радиус одной окружности 6 см (дано).
Примем радиус второй окружности равным х см Тогда, поскольку сумма радиусов второй и третьей окружности равна 14 см, радиус третьей – 14-х. см
Периметр треугольника АВС=АВ+ВС+АС
АВ=6+х, ВС=6+14-х, АС=х+14-х.
Р= 6+х+20-х+14=40 (см)
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.
Точка М - центр описанной окружности.
Точка О - центр вписанной окружности.
Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.
Радиус вписанной окружности равен по формуле:
r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.
Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.
PB=HB=2см (касательные из одной точки).
Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:
ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .
ответ: расстояние между центрами окружностей равно
√1,25 ≈ 1,12 см.
Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:
d² = R² - 2·R·r.
В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.
тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.
