Даны вершины тетраэдра а(1,2,1), b(2,-3,4), c(-4,5,1), d(-1,2,-3). найти: 1).длину ребра ав 2)угол между ребрами ав и аd 3)угол между ребром ad и плоскостью ab 4)объем тетраэдра abcd 5) урвнение ребра ab 6) уравнение плоскости abcd 7) уравнение высоты,опущенной из d на abc 8)проекцию точки d на abc 9) длину высоты do

1) Вектор АВ=(1,-5,3) ,  |AB|=
5) Уравнение АВ (канокическое): 

2)Вектор АD=(-2,0,-4) , |AD|=
4)Объём пирамиды равен 
(AB,AC,AD) - смешанное произведение векторов = определителю 3-го порядка.
АВ=(1,-5,3), АС=(-5,3,0),A=(-2,0,-4).Составим определитель:

V=106/6
6)Ищем нормальный вектор плоскости АВС как векторное произведение векторов АВ и АС:


Уравнение плоскости АВС:
9(х-1)+15(у-2)+22(z-1)=0,
9x+15y+22z-61=0
7) Уравнение высоты из точки D на пл. АВС.Направляющим вектором для DO будет нормальный вектор пл.АВС, тогда имеем каноническое уравнение DO:

8) Проекцию точки D на пл.АВС найди как пересечение прямой DO и пл.АВС, используя параметрическое уравнение DO.
9(9t-1)+15(15t+2)+22(22t-3)-61=0
81t+225t+484t-106=0
790t=106, t=106/790=53/395
Точка пересечения имеет координаты: х=9*(53/395) -1=...,у=15*(53/395)+2=...
z=22*(53/395)-3=...