4. В прямоугольном треугольнике АВС угол B = 90⁰ , АВ = 4 см, АС = 8 см. Найдите углы, которые образует высота ВН с катетами треугольника.​

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ =8 и АС = 64.

Точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD  перпендикулярная прямой АО , пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

–––––––––––––––––

Продлим ВD до пересечения с окружностью в точке М. 

Хорда МВ перпендикулярна радиусу ОА ( по условию)  и при пересечении с ним делится пополам ( свойство). 

Тогда  радиус ОА делит угол ВОМ пополам. Дуги АМ и АВ, на которые опираются равные центральные углы МОА и ВОА, также равны. 

Отсюда следует равенство углов АВМ и ВСА - опираются на равные дуги. 

В треугольниках АВС и АВD угол ВАС общий, ∠АВD=∠ВСА ⇒

 ∆ АВС ~  ∆ АВD по 1-му признаку подобия. Из подобия следует отношение:

АВ:АС=АD:АВ

АВ²=АD•AC

64=AD•64⇒  AD=1

CD=64-1=63 (ед. длины)

В данном решении я покажу, как решают многие и многие, да , решение будет правильным, но так решать не нужно, нужно думать головой. И потом покажу, как же , в принципе, НУЖНО решать такие задачи.
итак, пусть одна сторона будет   а.  Тогда другая, естественно , будет а+7.    (ведь   а+7 -а =7 , как в условии)
т.к. стороны и диагональ образуют прямоугольный треугольник, то по т.Пифагора
а²+(а+7)²=13²
а²+а²+2*7*а+7²=13²
2а²+14а-120=0
а²+7а-60=0
D=49+4*60=17²
a1=5         a2=-12   отрицательное не подходит, т.к. длина - положительное значение

т.е а=5,   а+7=5+7=12      S=5*12=60
Но так решать НЕ НУЖНО!

у нас выше получилось выражение  а²+7а-60=0  кстати, все числа нужно было перенести вправо, тогда получается      
 а²+7а=60       дальше
а*(а+7)=60            но что такое   а    и а+7  ?  Это стороны, значит, произведение равно площади и равно 60 . 
Вот и все.