Контрольна робота з геометрії 8 клас

Минут 5 ломал голову, с чего вообще начать) Потом вспомнил про подобие треугольников.

1. Проведём отрезки BD и AC (см. рисунок). Треугольники, образованные таким образом, будут подобными, поскольку у них равные углы при вершине K, а также угол C равен углу B (потому что они опираются на одну и ту же дугу), из чего по первому признаку подобия треугольников следует их подобие.

2. Значит, стороны треугольников пропорциональны. Очевидно, что если их сумма в два раза больше суммы другого треугольника, то и стороны тоже в два раза больше:


3. Их произведение

                         Задача про треугольник и окружность          

Как всегда, решу обобщённым и задача принимает следующий вид:

Периметр ΔАВС равен p. Проведена окружность, касающаяся стороны АВ и продолжения сторон АС и ВС. К этой окружности проведена касательная, параллельная прямой АВ, и пересекающая продолжения сторон АС и ВС в точках М и N. Найдите длину АВ, если MN равен а.

По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности:  ME = MT, EN = NP, TA = AS, PB = BS, CP = CT

P (mnc) = MN + CN + CM = ME + EN + NP + PB + BC + MT + TA + AC = 2ME + 2EN + (BS + AS + BC + AC) = 2(ME + EN) + (AB + BC + AC) = 2MN + P (abc)

Значит, P (mnc) = 2MN + P (abc) = 2a + p

MN || AB  ⇒  ΔMNC подобен ΔАВС по двум углам, из подобия следует соотношение:    P (abc) / P (mnc) = AB/MN

AB =  ( P abc / P mnc ) • MN

AB = a•p/(2a + p) = 12•3/(2•3 + 12) = 36/18 = 2

ответ: 2