Объяснение:
CD = a, AB = 2a.
ΔAOB ~ ΔCOD по двум углам (∠ОАВ = ∠ОСD как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АС, углы при вершине О равны, как вертикальные)
Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно отношению сходственных сторон, т.е.
h₁ / h₂ = 1/2 ⇒ h₂ = 2h₁
______________________________________
MN║AB║CD, тогда по обобщенной теореме Фалеса
Проведем СК║AD. СК∩MN = E.
ADCK - параллелограмм, значит АК = CD = a.
KB = AB - AK = a
MDCE параллелограмм (MD║CE и ME║CD ), значит ME = CD = a.
ΔCEN ~ ΔCKB по двум углам (∠CEN = ∠CKB как соответственные при пересечении EN║KB секущей СК, угол С общий)
______________________
Площадь верхней трапеции:
Площадь нижней трапеции:
СН - высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника АВС. В прямоугольном треугольнике ВСН (<H=90°) угол НСВ равен 90° - <B (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Точно так же в прямоугольном треугольнике АВС (<С=90°) угол САВ равен 90° - <B. Следовательно, прямоугольные треугольники САН и ВСН подобны по острому углу (первый признак), так как <CAH=<HCB=(90° - <B) (доказано выше). Кроме того, треугольники САН и НСВ подобны исходному треугольнику АВС по этому же острому углу.
Что и требовалось доказать.
