5 3. З'ясуйте, за якими елементами прямокутні трикутники, зображені
на малюнку, рівні між собою.
A. за катетом і гіпотенузою
Б. за катетом і прилеглим гострим кутом
А Б В Г
B. за катетом і протилежним гострим кутом
г. за двома катетами
4

Для начала, давайте разберемся с данными условиями задачи. У нас есть треугольник MNP и отрезок NE, который является медианой и высотой этого треугольника.

а) Доказательство: MN = NP

Для начала, давайте определим понятие медианы треугольника. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Так как NE является медианой треугольника MNP, то она делит сторону MP пополам. Обозначим середину стороны MP как K. Тогда получим следующее:

NK = KP (1) - это следует из определения медианы

Также, у нас есть дано, что NE является высотой треугольника MNP. Высота - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне перпендикулярно этой стороне.

По определению высоты, NE и MP перпендикулярны друг другу. Это означает, что угол NEM является прямым углом.

Теперь давайте рассмотрим треугольник MNE. У нас есть две перпендикулярные стороны (NE и MP) и один угол (NEM), являющийся прямым углом. Такой треугольник называется прямоугольным треугольником.

В прямоугольном треугольнике, гипотенуза всегда является самой большой стороной, а катеты равны друг другу.

Так как NE является гипотенузой прямоугольного треугольника MNE, а MP - катетом, то NE должна быть больше MP (по определению гипотенузы).

Но мы знаем из равенства (1), что NK = KP, а значит MK = KM.

Таким образом, если MP = MK, а MK = KM, то MP = KM.

Следовательно, требуемое утверждение доказано: MN = NP.

б) Доказательство: NE - биссектриса треугольника MNP.

Для начала, давайте разберемся с понятием биссектрисы треугольника. Биссектриса - это отрезок, который делит указанный угол на два равных угла.

У нас есть треугольник MNP и отрезок NE. Мы должны доказать, что NE является биссектрисой треугольника MNP.

Воспользуемся свойством биссектрисы. Оно заключается в том, что если биссектриса треугольника делит любую из оставшихся двух сторон на пропорциональные отрезки, то либо эти две стороны равны, либо пропорции равны.

Давайте рассмотрим треугольник MNE. У нас есть биссектриса NE, сторона MN и сторона NP.

Так как NE - медиана, она делит сторону MP пополам, а значит, мы имеем следующее:

MN/MK = NP/KP (2) - это следует из свойства медианы

Нам нужно доказать, что NE также делит сторону MN на пропорциональные отрезки. Для этого, давайте разделим уравнение (2) на NP:

(MN/MK) / (NP/KP) = 1

MN/MK x KP/NP = 1

MN x KP = MK x NP

Теперь вспомним, что мы уже доказали в пункте а) - MN = NP.

Тогда получаем:

MN x KP = MK x MN

KP = MK (3)

Итак, из уравнения (3) следует, что отрезок KP равен отрезку MK.

Это значит, что NE делит сторону MN на две пропорциональные части, а значит, NE - биссектриса треугольника MNP.

Таким образом, исходное утверждение доказано: NE - биссектриса треугольника MNP.

Для нахождения периметра параллелограмма, необходимо сложить длины всех его сторон. В данном случае, мы имеем параллелограмм, у которого известны длины сторон АН, ВН и ВК.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Таким образом, мы должны сложить длины сторон АН, НК, КВ и ВА.

Дано, что АН равно 9 см, ВН равно 12 см, а ВК равно 20 см. Нам не даны дополнительные данные о других сторонах параллелограмма, поэтому предположим, что стороны АН и ВК параллельны.

Таким образом, сторона НК будет параллельна стороне ВА и равна 12 см, так как она соответствует ВН.

Теперь мы можем найти периметр параллелограмма, сложив длины всех его сторон:
Периметр = АН + НК + КВ + ВА
Периметр = 9 см + 12 см + 20 см + 9 см

Теперь выполним вычисления:
Периметр = 50 см

Таким образом, периметр данного параллелограмма равен 50 см. Утверждение о том, что периметр должен быть равен 80 см, является неверным. Ответ: 50 cm.