Дан треугольник ABC, A(5;2), B(-3;4), C(1;7). Найти уравнение BH(высоты) и её длину.Решение.Уравнение прямой АС по двум точкам:(X-Xa)/(Xc-Xa)=(Y-Ya)/Yc-Ya) или (X-5)/(-4)=(Y-2)/5 =>5X+4Y-32=0 (1) - уравнение прямой АС в общем виде с коэффициентами А=5, В=4, С=0 и D=-32.Вектор нормали (перпендикуляра) к этой прямой n(A;B) или n(5;4).Этот же вектор является направляющим вектором прямой ВН.Уравнение прямой ВН по точке В(-3;4) и направляющему вектору р(5;4):py(X-Xb)=px(Y-Yb) или 4(Х-(-3)=5(Y-4) =>4x-5y+32=0 (2) - это искомое уравнение прямой ВН.Длина вектора модуль) ВН=√[(Xh-Xb)²+(Yh-Yb)²].Координаты точки Н Xh и Yh находим, решая систему двух уравнений (1) и (2).5x+4y=32 |*4 25x+20y=1604x-5y+32 |*5 => 16x-20y=128, отсюдах=32/41, y=(32-5х)/4=288/41.Тогда |BH|=√[(155²+124²)/41²]≈156,8/41≈4,8. P.S. Задача чисто арифметическая, поэтому надо еще раз проверить арифметические действия. По построению, приложенному на рисунке, результат, похоже, верный.
1. Даны точки А(2;0;-1), В(3;1;-2), С(4;-7;2), Д(1;4;-5). Найти: а) координаты векторов АВ и СД. б) Вектор 2АВ – CD.  в) косинус угла между векторами АВ и СД. 2. При каком значении п векторы АВ и CD будут перпендикулярны, если А(1;0;1), В(-2;3;0), С(4;6;п), Д(п;6;-8). 3. Даны точки с координатами Р(4;-1;2), К(3;0;-1), М(1;-6;8). Найдите координаты точки С, чтобы вектора РК и МС были равны. Решение. а) Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{1;1;-7}. Координаты вектора CD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{-3;11;-1}. б) Разность векторов 2АВ-СD равна вектору (2АВ-СD ){2Xab-Xcd;2Yab-Ycd;2Zab-Zcd} или(2АВ-СD ){5;-9;-13}. в) Cos(AB,CD)=скалярное произведение векторов АВ и СD, деленное на произведение их модулей.Cosα=(Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)/|AB|*|CD| или Cosα=(-3+11+7)/[√(1+1+49)*√(9+121+1)=15/√6681≈15/81,7≈0,184. 2. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. (Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)=0 Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{-3;3;-1}. Координаты вектораCD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{п-4;0;-8-п}. Тогда -3п+0+8+п=0, отсюда п=4. 3. Вектора равны, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Вектора коллинеарны, если найдется такое число k, что Xa/Xb=Ya/Yb=Za/Zb=k. Или (Xk-Xp)/(Xc-Xm)=(Yk-Yp)/(Yc-Ym)=(Zk-Zp)/(Zc-Zm)=k. Вектор РК{Xk-Xp=-1;Yk-Yp=1;Zk-Zp=-3} его длина (модуль) |PK|=√(1+1+9)=√11. Возьмем k=1 (так как вектора должны быть сонаправлены и равны по модулю). Тогда Xc-Xm=-1, Yc-Ym=1, Zc-Zm=-3. Отсюда Xc=0, Yc=-5,Zc=5. Проверим: вектор MC{0-1;-5+6;5-8}, его длина (модуль): |МС|=√(-1)²+1²+(-3)²]=√11. Модули векторов РК и МС равны, вектора РК и МС коллинеарны (k=1). Итак, векторы равны при координатах точки С(0;-5;5).
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
