Дан куб ABCDA'B'C'D' с основанием ABCD и боковыми ребрами A', B', C', D'. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины ребер AA и AA', и прямой, проходящей через середины ребер BB' и B'C', если ребро куда равно 1.

Решение:
Sбок.=Р*h  где Р- периметр треугольника; h-высота призмы
Найдём периметр равнобедренного прямоугольного треугольника, для этого найдём гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника то теореме Пифагора:
c²=2a²
c²=2*13²=2*169=338
c=√338=√(2*169)=13√2
P=13+13+13√2=(26+13√2)см
Sбок.=(26+13√2)*6=(156+78√2)(см²)
V=Sосн.*h h=6см
Sосн.=1/2*а*h  а=13см;  h-высота : в данной задаче катет равнобедренного прямоугольника является высотой, то есть 13см
Sосн.=1/2*13*13=84,5(см²)
V=84,5*6=507(см³)

ответ: Sбок.=(156+78√2)см² ; V=507см³

Обозначим:
- точку касания окружностью стороны АВ точкой К,
- точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е.
Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN.
Отрезок АР = 8+((30-8)/2) = 8 + 11 = 19.

Решение основано на теореме касательной и секущей.
 Касательная АК=√(8*30)=√240 =  15.49193.
 Отрезок касательной КЕ (до оси окружности) равен АЕ-АК= 19 / cosA- 15.49193 = 19 /  0.968246 -15.49193 =  19.62312 - 15.4919 =  4.131182.
Радиус равен этой величине, делённой на тангенс угла КОЕ (он равен углу А). 
Тангенс угла КОЕ равен:
tg KOE = tg(A) = sin(A) / cos(A) = √(1-cos²(A)) / cos(A) =
= √(1 - (15/16)) / (√15/4) = (1/4) / (√15/4) = 1/√15 =  0.258199.
Тогда R = 4.131182 /  0.258199 = 16.