1 уровень сложности Вариант 2
1. Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55).
Найти: а) МК; 6) PE: NK; в) Supe : SMK
2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ZB = 70°, а в AMNK
MN 6 см, NK = 9 см, ZN 70°. Найдите сторону AC и угол с
треугольника ABC, если MK a 7 см, 2K = 60°.
3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке 0 так, что LACO =
в Евро, АО: Ова 2:3. Найдите периметр треугольника Асо,
если периметр треугольника BOD равен 21 см.
4. В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересе-
каются в точке 0, Skop = 32 см., Soc = 8 см. Найдите меньшее
основание трапеции, если большее из них равно 10 см.
N​

Добрый день! Давайте решим данные задачи по порядку.

1. Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55).
Найти: а) МК; 6) PE: NK; в) Supe : SMK

а) Чтобы найти МК, нам нужно использовать соотношение сторон подобных треугольников. Так как PE || NK, то треугольники MPK и MEN подобны, поэтому отношение сторон в них равно:
MK/EN = MP/ME
MK/12 = 8/6
MK = (8/6) * 12
MK = 16

Таким образом, МК = 16.

б) Чтобы найти PE: NK, мы можем использовать теорему Талеса. Так как PE || NK, то угол PEK также равен углу NKM (по альтернативным углам).
Из треугольников MPK и MEN мы знаем, что MP/ME = MK/EN.
Подставим в это соотношение известные значения:
8/6 = 16/EN
EN = (6 * 16) / 8
EN = 12

Таким образом, PE: NK = 12.

в) Чтобы найти Supe : SMK, мы можем использовать теорему Пифагора. Так как PE || NK, то треугольник SNE прямоугольный.
Выразим длины сторон SN и SE через MK и EN:
SN = MK + NK = 16 + 12 = 28
SE = EN = 12

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника SNE:
(SN)^2 = (SE)^2 + (NE)^2
(28)^2 = (12)^2 + (NE)^2
784 = 144 + (NE)^2
(NE)^2 = 784 - 144
(NE)^2 = 640
NE = sqrt(640) ≈ 25.3

Теперь найдем SMK, используя тот факт, что у треугольников SMK и SNE с накладкой равны противоположные углы.
Мы получили, что NE ≈ 25.3, а SK известно равным 8, поэтому можем использовать тангенс:
tan(SMK) = NE/SK
tan(SMK) = 25.3/8
SMK ≈ arctan(25.3/8)
SMK ≈ 72.82

Таким образом, Supe : SMK ≈ 72.82.

2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ZB = 70°, а в AMNK
MN = 6 см, NK = 9 см, ZN = 70°. Найдите сторону AC и угол с
треугольника ABC, если MK = 7 см, ZK = 60°.

Чтобы найти сторону AC, мы можем использовать теорему синусов для треугольника ABC:
AC/sin(ZB) = BC/sin(ZAC)
AC/sin(70°) = 18/sin(ZAC)
AC = (18 * sin(70°)) / sin(ZAC)

Чтобы найти угол с в треугольнике ABC, мы также можем использовать теорему синусов:
sin(ZC) = (BC * sin(ZAC)) / AC
ZC = arcsin((18 * sin(ZAC)) / AC)

Теперь нам нужно найти ZAC и AC. Мы знаем, что треугольники AMK и ANC подобны (2 угла равны), поэтому отношение сторон MN/NK = MK/AC:
6/9 = 7/AC
AC = (9 * 7) / 6

Также у нас есть известный угол ZK = 60°. Нужно также найти угол ZAC. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, можем записать:
ZAC + ZK + ZC = 180
ZAC + 60° + ZC = 180
ZAC + ZC = 120

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (AC и ZAC), которые можно решить методом подстановки.

3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что LACO =
в Евро, АО: Ова 2:3. Найдите периметр треугольника Асо, если периметр треугольника BOD равен 21 см.

Пусть AC = 2x, CO = 3x, OD = y. Тогда OB = 3y и AD = 2y, так как AO : OC = 2 : 3.

По условию задачи, периметр треугольника BOD равен 21 см, поэтому можем записать:
BD + DO + BO = 21

Заметим, что периметр треугольника ACB равен периметру треугольника AOD. Поэтому можем записать:
AC + CB + BA = AD + DO + OA
2x + y + 3x = 2y + DO + 2x

Теперь мы имеем систему уравнений с двумя неизвестными x и y, которую можно решить методами алгебры для нахождения периметра треугольника АСО.

4. В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересе-
каются в точке O, SKop = 32 см., Soc = 8 см. Найдите меньшее
основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Для начала, обозначим меньшее основание трапеции ABCD как x, а большее основание как y.

По теореме Пифагора для треугольника SOC можем записать:
(SC)^2 = (SO)^2 + (OC)^2
(SC)^2 = (SO)^2 + (x + y)^2

По условию задачи, мы знаем, что SOC = 8, а SKop = 32, поэтому можем записать:
SOC = (SO + OC) = 8
SKop = (SO + SC) = 32

Из двух уравнений выше можем выразить SO и SC, и подставить в уравнение для треугольника SOC:
SO = 8 - OC
SC = 32 - SO

Теперь можем записать:
(32 - SO)^2 = (SO)^2 + (x + y)^2

Получили уравнение с одной неизвестной, которое можно решить для определения значения x, меньшего основания трапеции ABCD.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять, как решать данные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.