Завдання: реферат "Сучасні технології
металургійного виробництва, та сучасні
тенденції в розміщенні металургійних
підприємств​

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301

Пусть AD и BE пересекаются в точке K 
В треугольнике ABD BE - и биссектриса и высота, то есть это равнобедренный треугольник, AB = BD, и BE - так же и медиана, то есть AK = KD; 
Пусть теперь точка F лежит на продолжении BA за точку A, так что CF II AD. Так как BD - медиана, то в треугольнике FBC AD - средняя линия, а CA - медиана треугольника  FBC; само собой, BE так же медиана этого равнобедренного треугольника FBC (если её продолжить за точку E до пересечения с FC в точке G), то есть точка Е делит AC, как это обычно и бывает с медианами: AE/EC = 1/2;
Более того, BE/EG = 2/1, то есть BE/BG = 2/3; а BK/KG = 1/1; то есть BK/BG = 1/2; отсюда BK/BE = 3/4; и KE/BE = 1/4;
Таким образом, AK = KD = 48; KE = 24; BK = 72;
AB = √(48^2 + 72^2) = 24√13; BC = 2*AB = 48√13;
AE = √(48^2 + 24^2) = 24√5; AC = 3*AE = 72√5;

665